MATLAB 绘制 SISO 和 MIMO 线性系统的时间和频率响应图

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前言

本例演示如何绘制 SISO 和 MIMO 线性系统的时间和频率响应图。

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一、时间响应

创建线性系统。在本例中，创建一个三阶传递函数。

sys = tf([8 18 32],[1 6 14 24])

sys =
 
     8 s^2 + 18 s + 32
  -----------------------
  s^3 + 6 s^2 + 14 s + 24
 
连续时间传递函数。
模型属性

您可以使用 step and impulse 命令绘制该系统的阶跃和脉冲响应。

subplot(2,1,1)
step(sys)
subplot(2,1,2)
impulse(sys)

您还可以使用 lsim 命令模拟对正弦波等任意信号的响应。输入信号显示为灰色，系统响应显示为蓝色。

clf
t = 0:0.01:4;
u = sin(10*t);
lsim(sys,u,t)   % u,t define the input signal

您可以在连续或离散的 tf、ss 或 zpk 模型中使用绘图命令。对于状态空间模型，您还可以绘制从给定初始状态开始的非强迫响应。例如

A = [-0.8 3.6 -2.1;-3 -1.2 4.8;3 -4.3 -1.1];
B = [0; -1.1; -0.2];
C = [1.2 0 0.6];
D = -0.6;
G = ss(A,B,C,D);
x0 = [-1;0;2];  % initial state
initial(G,x0)
grid

二、频率响应

频域分析是了解控制系统稳定性和性能特性的关键。Bode 图、Nyquist 图和 Nichols 图是绘制和分析线性系统频率响应的三种标准方法。您可以使用 Bode、Nichols 和 Nyquist 命令创建这些图。

创建线性系统。

sys = tf([8 18 32],[1 6 14 24])

sys =
 
     8 s^2 + 18 s + 32
  -----------------------
  s^3 + 6 s^2 + 14 s + 24
 
连续时间传递函数。
模型属性

为该系统绘制 Bode 图。

bode(sys)
grid

为该系统绘制奈奎斯特图。

nyquist(sys)
grid

为该系统创建一个尼科尔斯图表。

nichols(sys)
grid

三、极点/零点图和根节点

系统的极点和零点包含有关其动态、稳定性和性能极限的宝贵信息。例如，考虑以下 SISO 控制回路中的反馈回路。

$$G=\frac{-(2s+1)}{s^2+3s+2}$$

对于增益值 k = 0.7，可以使用 pzmap 绘制闭环极点和零点图。

s = tf('s');
G = -(2*s+1)/(s^2+3*s+2);
k = 0.7;
T = feedback(G*k,1);
pzmap(T)
grid, axis([-2 0 -1 1])

闭环极点（蓝色 x 标记）位于左半平面内，因此在选择增益 k 时，反馈回路是稳定的。这里的阻尼比约为 0.7，表明闭环响应阻尼良好，这一点可以通过以下数据得到证实：

clf
step(T)

为了进一步了解环路增益 k 对闭环稳定性的影响，可以绘制闭环极点位置与 k 的函数关系图。

rlocus(G)
grid

点击定位点与 y 轴相交的位置，可以发现当 k = 1.51 时，闭环极点变得不稳定。因此，为保证闭环稳定，环路增益应保持小于 1.5。

四、响应特性

右键单击响应图可以访问各种选项和注释。特别是，通过特性菜单可以显示标准指标，如阶跃响应的上升时间和稳定时间，或频率响应图的峰值增益和稳定裕度。

使用上一节的示例，绘制闭环阶跃响应图：

step(T)

现在，右键单击曲线图以显示峰值响应和稳定时间特性，并单击蓝点读取相应的过冲和稳定时间值：

五、分析 MIMO 系统

目前提到的所有命令都完全支持多输入多输出（MIMO）系统。在多输入多输出情况下，这些命令会生成数组图。例如，请看下面的两输入两输出系统。

sys = rss(3,2,2);
sys.A = [-0.5 -0.3 -0.2 ; 0 -1.3  -1.7; 0.4 1.7 -1.3];

阶跃响应是一个 2×2 的图阵列，每列显示一个特定输入通道的阶跃响应。

step(sys)

您可以右键单击曲线图并选择 I/O 分组 -> 全部子菜单，将所有四个响应组合到一个曲线图上。

以下附加图有助于分析多输入多输出系统：

• 奇异值图 (sigma)，显示频率响应的主要增益

• 每个 I/O 对的极点/零点图（iopzplot）

例如，绘制 sys 的峰值增益与频率的函数关系图：

sigma(sys)
grid

六、系统比较

您可以使用任何响应绘图命令同时绘制多个系统。您可以为每个系统指定特定的颜色、标记或线条样式，以便于比较。以上述反馈为例，用三种不同颜色绘制环路增益 k 的三个值的闭环阶跃响应：

k1 = 0.4;
T1 = feedback(G*k1,1);
k2 = 1;
T2 = feedback(G*k2,1);
step(T,'b',T1,'r',T2,'g')
legend('k = 0.7','k = 0.4','k = 1')

七、修改时间轴或频率轴数值

您可以修改现有线性分析图的时间和频率向量。

对于阶跃图和脉冲图，可以通过右键单击绘图区域并选择指定时间来指定时间矢量。

在 "指定时间 "对话框中，您可以使用以下方法之一定义时间值和单位。

• 自动生成 - 根据系统动态自动生成时间矢量。稀疏系统不支持此选项。

• 定义停止时间 - 指定停止时间，创建从时间 0 开始的时间矢量。

• 定义矢量 - 将时间指定为单调递增、间距均匀的时间值矢量。

对于波特图、奈奎斯特图、尼克尔斯图和西格玛图，可以通过右键单击绘图区域并选择指定频率来指定频率矢量。

在 "指定频率 "对话框中，您可以使用以下方法之一定义频率值和单位。

• 自动生成 - 根据系统动态自动生成频率矢量。稀疏系统不支持此方法。

• 定义范围 - 指定频率范围。稀疏系统不支持此方法。

• 定义矢量 - 指定要绘制成矢量的频率。

如果您的系统是 frd 对象，则会在频率值之间插值绘制响应。

更改时间和频率单位将指定输入的单位，但不会更改绘图中的单位。

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