非凸函数求解

目录

0.题目如下

1.枚举法

2.贪心法

3.数学表达并优化

①转换成目标函数

②是否凸函数

③近似算法

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0.题目如下

1.枚举法

从一个集合开始罗列，并查看是否满足条件，如果不满足就继续罗列两个集合的组合，一直到找到答案为止。该方法时间复杂度高，但一定能保证找到全局最优解。

 

2.贪心法

从最多的集合的组合开始，一个一个删除，如果删除后仍能满足条件，就在这个基础上尝试删除下一个，一直到组合中所有的集合都不能被删除为止。该方法效率非常高，但是不能保证全局最优。

 

3.数学表达并优化

①转换成目标函数

根据题目，我们可以把目标转换成“函数”+“限制条件”的形式。

根据下图，我们设定变量xi：某集合是否被选中，如果是1，则被选中，如果是0，则未选中。

我们的条件：选的集合不可能是空的，因此xi>=1；xi只能从0和1里面选。

 

②是否凸函数

根据凸函数定义，首先定义域要是凸集，也就是给定两个点x1,x2，有α*x1+(1-α)*x2也在定义域内。由于x只能取0和1，因此定义域不是凸集。

该函数不是凸函数，因此需要其他办法解决。

 

③近似算法

目标函数，限制条件都是线性的，因此这属于线性规划问题（定义域只能选0或1），integer linear programming，但定义域不符合凸函数条件，因此我们可以将问题进行松弛化：

通过近似的算法得到近似最优解的解。

我们把定义域设置为[0,1]，这样就成为了一个标准的线性规划问题，求解出结果后，我们设定一个阈值，比如0.5，大于0.5的取1，小于0.5的取0，这样就得到了最终0,1的结果。

 该方法也不能保证找到全局最优解。但对于非凸函数来说，已经没有其他更好的办法了。