扩展欧几里得算法的应用-线性同余方程：AcWing 878. 线性同余方程

#include
using namespace std;
typedef long long LL;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return gcd;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        int a,b,m;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&m);
        int x,y;
        int d=exgcd(a,m,x,y);
        if(b%d) puts("impossible");
        else    printf("%d\n",(LL)b/d*x%m);
    }
    return 0;
}

首先解释一下什么叫做线性同余方程，比如说我们提供一个这样的方程

,表示的是(读作恒等于)左右两边的数字模除m的结果相等。也就是说，存在以下等价关系,可以看成另外一个变量,那么就有,然后我们需要判断的就是是否存在一个x和使得方程有解。经过前面的转换， 就可以直接使用扩展欧几里得算法来进行求解。

扩展欧几里得算法的方程是这样子的：,和我们上面转换得到的方程还是有一些差距，我们把a和m的最大公约数gcd(a,m)记作d,，把这个方程左右两边同时除以,变成了，,然后把和看成另外一个变量，然后就完全转换成了扩展欧几里得算法适用的方程。

所以我们根据扩展欧几里得算法算出来的所谓的x其实是前面说的,所以我们输出的时候需要进行这一步操作，

else    printf("%d\n",(LL)b/d*x%m);

注意防止越界，开long long 和取模 

如果b不可以整除d，输出没有整数解，这是为什么？b可以整除d，表示的是，b比d大，并且d是b的因子，d是a和m的最大公约数， （刚开始想错了，条件判断是括号里面只要不是0就表示真，想清楚这个，这个就不需要额外解释说明了）