第三章 多维随机变量及其分布

说明：为了复习概率论，该文章是学习课程 《概率论与数理统计》教学视频全集（宋浩）而记录的笔记，笔记来源于本人，笔记包含的MATLAB代码来源于本人。若有侵权，请联系本人删除。笔记难免可能出现错误或笔误，若读者发现笔记有错误，欢迎在评论里批评指正。参考书籍： 《概率论与数理统计》_同济第五版_韩明、 《概率论与数理统计教程》_第三版 (茆诗松) 。

一、二维随机变量

1.1 二维随机变量的定义、分布函数、边缘分布函数

1.2 二维离散型随机变量的分布列、分布函数、边缘分布函数、边缘分布列

1.3 二维连续型随机变量的概率密度函数、分布函数、将二维随机变量推广到n维随机变量

例1代码：

%{
   已知区域G：x^2+y^2<=3^2,当（x,y）属于区域G时，函数f_XY(x,y)=1/(pi*3^2)；
   当（x,y）属于其他区域时，f_XY(x,y)=0。请使用MATLAB画出函数f_XY(x,y)的图像。
%}
% 定义区域G的半径
r = 3;
% 定义x和y的取值范围
x = linspace(-4, 4, 60);
y = linspace(-4, 4, 60);
% 生成网格点坐标矩阵
[X, Y] = meshgrid(x, y);
% 计算每个网格点对应的概率密度函数值
f_XY = zeros(size(X));
for i = 1:numel(X)   %numel用于返回一个数组、矩阵或向量中的元素个数。
    if X(i)^2 + Y(i)^2 <= r^2
        f_XY(i) = 1 / (pi * r^2);
    else
        f_XY(i) = 0;
    end
end
% 绘制3D立体图
figure;
mesh(X, Y, f_XY, 'EdgeColor', 'none');
%{
  其中 'EdgeColor' 表示边缘颜色，'none' 表示不显示边缘线。
  在绘制3D立体图时，如果不设置 'EdgeColor', 'none'，则会在每个区域的边缘线上产生黑色的网格线，这些线条可能会干扰到图像的观察。
  因此，在一般情况下，我们通常会将其设置为 'none'，以便清晰地展示立体图中的各个部分。
%}
colorbar();
colormap(jet); %用了 jet 颜色表
shading interp; %图像更加平滑
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('概率密度函数');
view(45, 30);
axis tight;

1.4 二维连续型随机变量的边缘概率密度函数、二维正态分布

例2的代码：

%{
    已知区域G：x>0,y>0。当（x,y）∈G时，二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为f_XY=e^[-(x+y)];
    当（x,y）∈其他区域时，f_XY=0。
    请使用MATLAB画出f_XY的图像、（X,Y）的分布函数F_XY的图像、（X,Y）的边缘分布F_X和F_Y的图像。
    要求让图像因为取值不同有颜色变化。
%}
% 定义概率密度函数f_XY
f_XY = @(x,y) exp(-(x+y)).*(x>0).*(y>0);

% 绘制三维概率密度函数图像并添加颜色映射
figure;
[X,Y] = meshgrid(0:0.1:5);
Z = f_XY(X,Y);
surf(X,Y,Z,'EdgeAlpha',0); % 去除网格线条
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('f_{XY}(x,y)');
title('概率密度函数f_{XY}(x,y)');
colormap(jet); % 添加颜色映射
colorbar; % 添加颜色标尺

% 计算并绘制二维分布函数F_XY
F_XY = @(x,y) 1 - exp(-x-y);
figure;
surf(X,Y,F_XY(X,Y),'EdgeAlpha',0); % 去除网格线条
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('F_{XY}(x,y)');
title('分布函数F_{XY}(x,y)');
colormap(jet); % 添加颜色映射
colorbar; % 添加颜色标尺

% 计算并绘制边缘分布F_X和F_Y
F_X = @(x) 1 - exp(-x);
F_Y = @(y) 1 - exp(-y);
x = 0:0.1:5;
y = 0:0.1:5;
figure;
subplot(2,1,1);
plot(x,F_X(x),'LineWidth',2);
xlabel('x');
ylabel('F_X(x)');
title('X的边缘分布函数F_X(x)');
subplot(2,1,2);
plot(y,F_Y(y),'LineWidth',2);
xlabel('y');
ylabel('F_Y(y)');
title('Y的边缘分布函数F_Y(y)');

例4的代码：

clc;
clear ;
close all;

% 定义区域G和概率密度函数f_XY
r = 3; % 圆半径为3
G = @(x,y) x.^2 + y.^2 <= r^2;
f_XY = @(x,y) (G(x,y)*1/(pi*r^2)) + ((~G(x,y)).*0);
disp('f_XY=');
disp(f_XY);

% 计算边缘概率密度函数f_X(x)、f_Y(y)
f_X = @(x) integral(@(y) f_XY(x,y), -sqrt(r^2-x^2), sqrt(r^2-x^2));
f_Y = @(y) integral(@(x) f_XY(x,y), -sqrt(r^2-y^2), sqrt(r^2-y^2));
disp('f_X=');
disp(f_X);
disp('f_Y=');
disp(f_Y);
% 绘制图像
x_values = linspace(-r,r,50);
y_values = linspace(-r,r,50);
[X,Y] = meshgrid(x_values,y_values);
Z_XY = f_XY(X,Y);
Z_X = arrayfun(f_X, x_values);%用x_values代替x，得f_X(x_values)
Z_Y = arrayfun(f_Y, y_values);

figure;
mesh(X,Y,Z_XY);
shading interp;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('f_{XY}(x,y)');
title('概率密度函数pdf');
colormap jet % 采用jet配色方案
colorbar
xlim([min(x_values),max(x_values)]);
ylim([min(y_values),max(y_values)]);

figure;
plot(x_values,Z_X,'LineWidth',2);
xlabel('X');
ylabel('f_X(x)');
title('X的边缘概率密度函数');

figure;
plot(y_values,Z_Y,'LineWidth',2);
xlabel('Y');
ylabel('f_Y(y)');
title('Y的边缘概率密度函数');

二、（一维、二维离散型、二维连续型）随机变量的条件分布

三、随机变量的独立性

例2代码：

%{
    使用MATLAB画图：矩形A：由直线x=8、x=12、y=7和y=9相交而成。
阴影区域B：由两条线x-y=1/12和x-y=-1/12之间的区域与区域A的交集。
请画区域A和B的轮廓，使用灰色作为区域B的阴影。并在图中合适的位置标注A和B，
另外，图的标题等尽量使用中文。图像的坐标区域限制为7.5=<x<=12.5,6.5<=y<=9.5。
%}
clc;
clear ;
close all;
% 定义矩形A的四个顶点的坐标
A_x = [8 8 12 12];
A_y = [7 9 9 7];
% 计算区域A和区域B
[X,Y] = meshgrid(7.5:0.01:12.5,6.5:0.01:9.5);
A = (X>=8 & X<=12) & (Y>=7 & Y<=9);
B = ((X-Y)>=-1/12 & (X-Y)<=1/12) & A;
% 创建一个新的图形窗口
figure;
% 绘制矩形A的轮廓（边界）
patch(A_x, A_y, 'k', 'EdgeColor', 'k', 'FaceColor', 'none');
% 填充区域B的阴影（灰色）
hold on;
% 绘制一个填充颜色为灰色（RGB值为[.7 .7 .7]）的平面，其边缘为黑色('k')，没有边框线。
patch(X(B), Y(B), 'k', 'EdgeColor', 'none', 'FaceColor', [.7 .7 .7]);
% 设置坐标轴范围
xlim([7.5 12.5]);
ylim([6.5 9.5]);
% 添加A和B的标注
% 在平面上坐标为(mean(X(A)), mean(Y(A)))的位置放置一个文本标签'A'。该标签水平和垂直居中对齐，并设置字体大小为16，加粗文字样式。
text(mean(X(A)), mean(Y(A)), 'A', 'HorizontalAlignment', 'center', 'VerticalAlignment', 'middle', 'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold');
text(mean(X(B)), mean(Y(B)), 'B', 'HorizontalAlignment', 'center', 'VerticalAlignment', 'middle', 'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold');
% 添加标题和标签
title('区域A和区域B');
xlabel('x');
ylabel('y');

四、两个随机变量的函数的分布

4.1 两个离散型随机变量的函数的分布（求解思路、二项分布的可加性、泊松分布的可加性）

4.2 两个连续型随机变量的函数的分布（求解思路（定义法和使用雅可比行列式的变量变换法）、Z=X+Y以及卷积公式、正态分布的可加性、M=max{X, Y}和N=min{X,Y}的分布以及推广）