第二章 随机变量及其分布

说明：为了复习概率论，该文章是学习课程 《概率论与数理统计》教学视频全集（宋浩）而记录的笔记，笔记来源于本人，笔记包含的MATLAB代码来源于本人。若有侵权，请联系本人删除。笔记难免可能出现错误或笔误，若读者发现笔记有错误，欢迎在评论里批评指正。参考书籍： 《概率论与数理统计》_同济第五版_韩明、 《概率论与数理统计教程》_第三版 (茆诗松) 。

一、随机变量及离散型随机变量（分布列）

二、连续型随机变量、概率密度函数及一些性质

三、分布函数及其性质

四、离散型随机变量的分布

4.1 0-1分布、几何分布

几何分布的MATLAB代码：

% 几何分布X～G(0，6)的代码如下
p       = 0.6;
k       = 1:5;
p_Xk    = (1-p).^(k-1).*p;
figure      %画图
stem(k,p_Xk);hold on;
xlabel('k');ylabel('P(X=k)');
title('几何分布的分布律，p=0.6');
xlim([1,length(k)]);
set(gca,'xtick',1:length(k))   
hold off

4.2 二项分布

二项分布代码：

% 二项分布X～B(26，0.6)的代码如下
n           = 26;
p           = 0.6;
k           = 0:26;
p_Xk        = zeros(1,length(k));%初始化概率
for i = 1:length(k)
    p_Xk(i) = nchoosek(n,k(i))*p^k(i)*(1-p)^(n-k(i));
end
figure      %画图
stem(k,p_Xk);hold on;
xlabel('k');ylabel('P(X=k)');
title('二项分布的分布律，n=26,p=0.6');
xlim([0,length(k)-1]);
set(gca,'xtick',0:(length(k)-1))   
hold off

4.3 泊松分布

例5代码：

lamda = 3;
sum = 0;
for k=0:5
    sum = sum+lamda^k/factorial(k)*exp(-lamda);
end
disp(sum);

例6代码：

lamda = 6;
sum = 0;
k=0;
while( sum <0.95 )
    sum = sum+lamda^k/factorial(k)*exp(-lamda);
    k=k+1;
end
disp(sum);
disp(2*k);

例7的计算代码：

disp(1-exp(-5)-5*exp(-5));

4.4 超几何分布、负几何分布（又称帕斯卡分布）

超几何分布的代码：

% 超几何分布X～h(n,N,M)=h(4,20,5)的代码如下
n   = 4;
N   = 20;
M   = 5;
k   = 0:min(n,M);
P_k = zeros(1,length(k));%使用0矩阵初始化概率
for i = 1:length(k)
    P_k(i) = nchoosek(M,k(i))*nchoosek(N-M,n-k(i))/nchoosek(N,n);
end
figure      %画图
stem(k,P_k);hold on;
xlabel('k');ylabel('P(X=k)');
title('超几何分布的分布律，X～h(4,20,5)');
xlim([0-0.2,length(k)-1]);
set(gca,'xtick',0:(length(k)-1))
for i=1:length(k)
    text(k(i)-0.1,P_k(i)+0.02,num2str(P_k(i)));%将概率值显示出来
end
hold off

例9的计算代码：

disp(exp(-2)+2*exp(-2));

五、连续型随机变量的分布

5.1 均匀分布

5.2 指数分布

指数分布的代码：

% 指数分布X～E(λ)
lamda   = 1;
lamda1  = 2;
lamda2  = 3;
x       = 0:0.01:5;
%- 概率密度函数
f_x     = lamda*exp(-lamda*x);
f_x1    = lamda1*exp(-lamda1*x);
f_x2    = lamda2*exp(-lamda2*x);
%- 分布函数
F_x     = 1-exp(-lamda*x);
F_x1    = 1-exp(-lamda1*x);
F_x2    = 1-exp(-lamda2*x);
figure      %画概率密度函数图
plot(x,f_x);hold on;
plot(x,f_x1);plot(x,f_x2);
xlabel('x');ylabel('f(x)');
title('指数分布的概率密度函数，X～E(λ)');
xlim([min(x),max(x)]);
legend('λ=1','λ_1=2','λ_2=3');
hold off
figure      %画分布函数图
plot(x,F_x);hold on;
plot(x,F_x1);plot(x,F_x2);
xlabel('x');ylabel('F(x)');
title('指数分布的分布函数，X～E(λ)');
xlim([min(x),max(x)]);
legend('λ=1','λ_1=2','λ_2=3');
hold off

5.3 正态分布

正态分布的代码：

% 正态分布X～N(u,σ²)
u               = 0;
u1              = -2;
u2              = 1;
sigma_square    = 1;
sigma_square1   = 4;
sigma_square2   = 9;
x               = -6:0.01:6;
%- 概率密度函数
f_x             = 1/sqrt( 2*pi*sigma_square )*exp( -(x-u).^2/(2*sigma_square) );
f_x1            = 1/sqrt( 2*pi*sigma_square )*exp( -(x-u1).^2/(2*sigma_square) );
f_x2            = 1/sqrt( 2*pi*sigma_square )*exp( -(x-u2).^2/(2*sigma_square) );
f_x3            = 1/sqrt( 2*pi*sigma_square1 )*exp( -(x-u).^2/(2*sigma_square1) );
f_x4            = 1/sqrt( 2*pi*sigma_square2 )*exp( -(x-u).^2/(2*sigma_square2) );
figure      %画图,改变u
plot(x,f_x);hold on;
plot(x,f_x1);plot(x,f_x2);
xlabel('x');ylabel('f(x)');
title('正态分布的概率密度函数，X～N(u,σ²),改变u');
xlim([min(x),max(x)]);
legend('u=0,σ^2=1','u=-2,σ^2=1','u=1,σ^2=1');
hold off
figure      %画图,改变σ²
plot(x,f_x);hold on;
plot(x,f_x3);plot(x,f_x4);
xlabel('x');ylabel('f(x)');
title('正态分布的概率密度函数，X～N(u,σ²),改变σ²');
xlim([min(x),max(x)]);
legend('u=0,σ^2=1','u=0,σ^2=4','u=0,σ^2=9');
hold off

画σ、2σ、3σ、6σ准则图的代码：

% 以标准正态分布X～N(0,1)为例（使用非标准正态分布也能画），画σ、2σ、3σ、6σ准则图
u               = 0;
sigma_square    = 1;
x               = -10:0.01:10;
%- 概率密度函数
f_x             = 1/sqrt( 2*pi*sigma_square )*exp( -(x-u).^2/(2*sigma_square) );
plot(x,f_x);
hold on;
% 标注u-σ、u+σ
plot([u-sqrt(sigma_square),u-sqrt(sigma_square)],[0,1/sqrt(2*pi*sigma_square)*exp( -(u-sqrt( sigma_square )-u).^2/(2*sigma_square) )],'--');
text(u-sqrt(sigma_square)+0.01,0+0.01,'u-σ');
plot([u+sqrt(sigma_square),u+sqrt(sigma_square)],[0,1/sqrt(2*pi*sigma_square)*exp( -(u+sqrt(sigma_square)-u).^2/(2*sigma_square) )],'--');
text(u+sqrt(sigma_square)+0.01,0+0.01,'u+σ');
% 标注u-2σ、u+2σ
plot([u-2*sqrt(sigma_square),u-2*sqrt(sigma_square)],[0,1/sqrt(2*pi*sigma_square)*exp( -(u-2*sqrt( sigma_square )-u).^2/(2*sigma_square) )],'--');
text(u-2*sqrt(sigma_square)+0.01,0+0.01,'u-2σ' );
plot([u+2*sqrt(sigma_square),u+2*sqrt(sigma_square)],[0,1/sqrt(2*pi*sigma_square)*exp( -(u+2*sqrt(sigma_square)-u).^2/(2*sigma_square) )],'--');
text(u+2*sqrt(sigma_square)+0.01,0+0.01,'u+2σ' );
% 标注u-3σ、u+3σ
plot([u-3*sqrt(sigma_square),u-3*sqrt(sigma_square)],[0,1/sqrt(2*pi*sigma_square)*exp( -(u-3*sqrt( sigma_square )-u).^2/(2*sigma_square) )],'--');
text(u-3*sqrt(sigma_square)+0.01,0+0.01,'u-3σ' );
plot([u+3*sqrt(sigma_square),u+3*sqrt(sigma_square)],[0,1/sqrt(2*pi*sigma_square)*exp( -(u+3*sqrt(sigma_square)-u).^2/(2*sigma_square) )],'--');
text(u+3*sqrt(sigma_square)+0.01,0+0.01,'u+3σ' );
% 标注u-6σ、u+6σ
plot([u-6*sqrt(sigma_square),u-6*sqrt(sigma_square)],[0,1/sqrt(2*pi*sigma_square)*exp( -(u-6*sqrt( sigma_square )-u).^2/(2*sigma_square) )],'--');
text(u-6*sqrt(sigma_square)+0.01,0+0.01,'u-6σ' );
plot([u+6*sqrt(sigma_square),u+6*sqrt(sigma_square)],[0,1/sqrt(2*pi*sigma_square)*exp( -(u+6*sqrt(sigma_square)-u).^2/(2*sigma_square) )],'--');
text(u+6*sqrt(sigma_square)+0.01,0+0.01,'u+6σ' );
xlabel('x');ylabel('f(x)');
title('标准正态分布的几大σ准则');
xlim([min(x),max(x)]);
hold off

5.4 伽马分布、贝塔分布

伽马分布代码：

%  伽马分布,X～Ga(α,λ)
alpha   = 0.5;
alpha1  = 1;
alpha2  = 1.4;
alpha3  = 5;
lambda  = 2;
x=0:0.01:5;
f_x     = lambda^alpha/gamma(alpha)*x.^(alpha-1).*exp(-lambda*x);
f_x1   	= lambda^alpha1/gamma(alpha1)*x.^(alpha1-1).*exp(-lambda*x);
f_x2 	= lambda^alpha2/gamma(alpha2)*x.^(alpha2-1).*exp(-lambda*x);
f_x3  	= lambda^alpha3/gamma(alpha3)*x.^(alpha3-1).*exp(-lambda*x);
figure      %画图
plot(x,f_x,'r');hold on;
plot(x,f_x1,'m');plot(x,f_x2,'b');plot(x,f_x3,'g');
xlabel('x');ylabel('f(x)');
title('伽马分布,X～Ga(α,λ)');
xlim([min(x),max(x)]);
legend('α=0.5,λ=2','α=1,λ=2','α=1.4,λ=2','α=5,λ=2');
hold off

六、随机变量函数的分布

6.1 离散随机变量函数的分布

6.2 连续型随机变量函数的分布