数字信号处理基础----信号的调制

1. 信号的调制

  由于光速为波长和频率的成绩，因此当频率很低的时候，要发送电磁波的时候，需要的天线很长，当频率被调制到高频的时候，就可以将天线做短。

1.1 单音信号的调制

  若现在有一个单音信号cosω₀t对其乘以一个载波信号cos10ω₀t，得到的时域和频域波形如下：

  在频域上观察，单音信号有两个频率分量分别是ω₀， -ω₀，载波信号有两个频率分量分别是10ω₀， -10ω₀，根据频域卷积定理，时域相乘对应，频率的卷积，于是可以看到，相乘后得到的频谱，将单音信号的频谱分别搬移到了-10ω₀， 10ω₀的位置。

2. 信号的正交变频

  前面的调制过程中，调制到高频的信号可以发现，其频谱的带宽比原来的基带信号扩大了一倍。在实际中，需要传递的频谱其实只需要基带信号的频谱就可以了。因此可以考虑，对基带信号进行处理，提高频带利用率。

2.1 余弦信号的分解

  正弦信号可以分解为两个复指数信号的叠加，可以看到*exp(jω₀t)*的频谱刚好对应了基带信号的正半边频谱信号。
  根据这个可以考虑使用复指数信号来替代余弦信号。

2.1 希尔伯特变换

  现实中物理可实现的信号都是实信号，实信号的频谱具有共轭对称性，即正负频谱的幅度相等，相位相反。如果只取信号的正频部分(t)——则() 称为信号s()的解析表示。

其中分[() ]称为信号s()的希尔伯特(Hilbert)变换

  举个例子就是信号 s(t) = cosω₀t,其解析表达只取信号的正频带部分，其解析表达是 z(t) = exp(jω₀t) = cosω₀t + jsinω₀t。对应解析表达式，可以知道，其希尔伯特变换就是 sinω₀t。

2.2 余弦信号的单边带调制

  根据上面介绍的希尔伯特变换，那么在处理的时候，只去信号的正频部分来进行调制，也即，消息信号用它的解析表达，载波信号也用解析表达，这样在调制得到的就只剩下一个正边带。
  但是，在实际生活中，都是处理实信号，不存在复数信号，但是由上面的解析表达的调制得到的结果是一个复指数信号，因此，此时，只需要去最终得到结果的实部，就可以得到最终调制出来的一个实际的信号信号，也即是cos11ω₀t，这样，就将这个单边带信号调制到了对应的频率上。

2.3 余弦信号的正交调制

  在上面介绍的单边带调制的方法，用的是复指数信号 exp(j10ω₀t) ，然而在实际中，并不存在复指数信号，因此想要使用复指数调制的方法，还需要想一些办法才可以。
  这时候，需要用到三角函数的和差化积公式。
  假设现在有一个信号cosω₀t ，若想要将其调制到 cos11ω₀t, 就可以使用三角函数的和差化积公式了。


  上面的这种调制方式，也称为正交调制。

  其实正交调制的I路和Q路就是复指数向量在实轴和虚轴的投影。

2.4 基带信号的正交调制

  对基带信号进行调制，有时候，需要进行两次变频才能调制到所需要的信号。若直接进行调制，那么得到最终得到的信号的频谱会有多个包络。

• 第一个变频
  
• 第二次变频
  
    可以看到通过直接变频得到的频谱，其利用率很低，有在正频率方向有两个包络。若此时考虑正交调制，就会改善这种情况。
  
  
  
    这样，就将信号调制到了想要的频带上，并且，信号的包络比原始要少。

2.5 正交调制的理解

  正交变频，表面上看，是使用三角函数的的和差化积得来的，但是换一种思路来看就可以得到不同的一种观点。

  正交调制的过程，其实是一个用复指数信号去调制的过程，只不过，复指数最终的结果，只取了复指数信号的实部。


  虽然现在，对基带信号进行调制后，能够减少最终得到的包络的个数，但是对于基带信号，并没有减少基带信号的带宽，依然还是一个双边带的信号。

3. 信号的复调制

3.1 理想情况下的信号调制

  期望中的基带信号的调制如下图，只希望传输一个信号的一个边带，但是实际中很难实现一个单边带的信号。
 &emps;理想中可以根据希尔伯特变换，得到信号的解析表达，从而得到信号的一个边带，但是在实际中，希尔伯特变换很难实现。

2.2 复信号的调制

  虽然希尔伯特变换很难实现，但是人为地构造一个复数信号还是能够做到的。

  信号的这种形式，其实就跟前面的IQ信号比较类似了。
  现在考虑一个IQ信号b(t)频谱如下：

  举个例子：两个强度不一样的复指数相加，就是这种情况。把 cosω₀t,看作是I路信号，把 ***sinω₀t***看作是Q路信号。

  其实就可以把频谱为这种形似的信号看作是两个信号的叠加。现在考虑对该IQ信号进行调制。

  可以看到，得到的结果是将该信号搬移到了对应的频率的位置。
  若现在取该信号的实部，就可以得到一个时钟中存在的信号。

  这样就把原来的信号，调制到了想要的频率上，可以看到，使用这种方式，虽然没有改变基带信号的频带宽度，但是，原始的基带信号，是由两个信号组成的，最终得到的结果，频谱的宽度却没有改变，也就是所，用原来的带宽，承载了两个信号的信息，因此就提高了频带的利用率。

2.3 复信号的二次变频

  对于一个复信号，想要对其进行二次变频，并且得到的结果呢，依然能用最少的带宽就可以了，可以先对这个复数信号进行一次变频，得到一个复信号。

然后再对该信号进行二次变频，并取其实部，就得到了最终调制出来的结果。


参考：

---

深入浅出数字信号处理