09 基变换

这是关于3Blue1Brown "线性代数的本质"的学习笔记。

基本概念

对于右手平面直角坐标系，一般用$i$和$j$表示其基向量。当然也可以在平面上另外建一个坐标系，也就是说，选择其他的基向量来对所有向量进行表示。

假设詹妮弗自己建了个新坐标系，把一组基向量表示为$b_1=[2,1{]}^T$和$b_2=[-1,1{]}^T$，这里的坐标值还是在$i$和$j$表示的平面直角坐标系中的取值，在詹妮弗新建的坐标系中，$b_1=[1,0{]}^T$和$b_2=[0,1{]}^T$，因为它们就是新坐标系的基向量。

不管坐标系怎么建，一个二维平面上的向量，它的长度大小是不变的，只是在不同的坐标系下，其数值表示不同。

比如，一个在平面直角坐标系下向量$[3,2{]}^T$，在詹妮弗的坐标系下的数值表示为$[5/3,1/3{]}^T$。

坐标转换

詹妮弗坐标系→平面直角坐标系

对于詹妮弗坐标系下的一个向量$[-1,2{]}^T$，在平面直角坐标系下取值应该是$[-4,1{]}^T$，计算过程如图1所示。即$-1b_1+2b_2=[-4,1{]}^T$

图1 一个向量由詹妮弗坐标系转换到平面直角坐标系

进一步地，把$-1b_1+2b_2=[-4,1{]}^T$进行改写：

$$\begin{array}{rl}-1b_1+2b_2& =-1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}-4\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$
上式中，矩阵的列代表的是在平面直角坐标系下詹妮弗坐标系的基向量。

直观解释：一个矩阵的列为詹妮弗坐标系的基向量在平面直角坐标系下的坐标，这个矩阵可以看作一个线性变换，它将平面直角坐标系的基向量$i=[1,0{]}^T$和$j=[0,1{]}^T$变换为詹妮弗坐标系下的基向量$b_1=[1,0{]}^T$和$b_2=[0,1{]}^T$。

这个矩阵就是从詹妮弗坐标系到平面直角坐标系进行转换的转换矩阵。

平面直角坐标系→詹妮弗坐标系

反过来，假设在平面直角坐标系下为$[3,2{]}^T$的向量，它在詹妮弗坐标系下取值如何？

这种情况下的转换矩阵就是詹妮弗坐标系到平面直角坐标系进行转换的转换矩阵的逆。

图2 一个向量由平面直角坐标系转换到詹妮弗坐标系

这两个转换矩阵的关系如图3所示。

图3 两个转换矩阵的关系

转换对比

图4 詹妮弗→平面直角

图5 平面直角→詹妮弗

基本原则

图6 坐标变换的基本原则 基变换的基本原则如图6所示，即跟踪我们坐标系下的基向量，记录变换（图中是90°旋转）后，该组基向量在我们坐标系下的坐标，得到就是原坐标系到新坐标系的转换矩阵，或称为基变换矩阵。用这个矩阵就可以求出，原坐标系下的向量在新坐标系下的取值。