12 克莱姆法则的几何解释
克莱姆法则的几何解释
- 线性方程组求解
- 正交变换
- 克莱姆法则
这是关于3Blue1Brown "线性代数的本质"的学习笔记。
线性方程组求解
克莱姆法则并非解线性方程组的最好方法（高斯消元法更好），了解它是为了加深对线性方程组的理解。
对于 3 x + 2 y = − 4 − x + x y = − 2 \begin{aligned} 3x+2y=-4 \\ -x+xy=-2\end{aligned} 3x+2y=−4−x+xy=−2
可以把这个方程组看作对[x, y]向量的一个已知的矩阵变换
哪个输入向量[x, y]在变换后成为了[-4,-2]?
思路1：
我们已知的向量是矩阵列向量的一个线性组合
行列式不为零意味着线性变换后维数依然相同。即，每个输入向量仅对应一个输出向量，且每个输出向量也仅对应一个输入向量。
正交变换
不改变点积的变换是正交变换。正交变换使基向量在变换后依然保持单位长度，且相互垂直，没有拉伸、压缩、变形。把正交变换可以想象成刚体运动的旋转。
用正交矩阵求解线性系统非常简单，因为点积不变，所以，已知的输出向量和矩阵的列向量的点积，分别等同于未知输入向量和各基向量的点积。也就是输入向量的每一个坐标。
克莱姆法则
有没有另一种对输入向量坐标值的几何解释，能在矩阵变换后保持不变呢？
我们看看行列式。
怎么来求由第一个基向量 i ⃗ \vec{i} i和未知的输入向量 [ x , y ] T [x,y]^{T} [x,y]T组成的平行四边形面积？
面积是长度为1的低，乘上与底边垂直的高，这个高正好是未知向量 [ x , y ] T [x,y]^{T} [x,y]T的 y y y坐标。
更准确地，应该考虑这个平行四边形的有向面积。如果向量的 y y y坐标是负的，则四边形面积也为负。前提是把基向量的 i ⃗ \vec{i} i放在第一位来定义平行四边形。
举一反三，三维呢？
直观地，在 z z z轴上的坐标等于第三个基向量 k ⃗ \vec{k} k和未知的输入向量 [ x , y ] T [x,y]^{T} [x,y]T组成的平行四边形面积，也就是基向量 k ⃗ \vec{k} k和未知的输入向量 [ x , y ] T [x,y]^{T} [x,y]T的叉积。
但有更好的方法。
考虑未知向量与另外两个基向量 i ⃗ \vec{i} i和 j ⃗ \vec{j} j所组成的平行六面体
这个平面六面体的底面是由基向量 i ⃗ \vec{i} i和 j ⃗ \vec{j} j组成的正方形，面积是1，所以，它的体积等于它的高，也就是未知向量的z坐标。
同样地，可以用这个奇怪的方法来描述未知向量在某一个轴上的坐标值。
为什么要把坐标和平行四边形或六面体的面积或体积联系在一起？
因为矩阵变换后，平行四边形的面积不一定保持不变，可能成比例增大或减小
但注意：这正是行列式的关键，所有面积伸缩的比例都是一样的！
所有面积收缩的比例就是给定的行列式！
比如考虑一个新的平行四边形，第一条边是变换后的第一基向量（也就是矩阵的第一列），第二条边是变换后的未知向量 [ x , y ] T [x,y]^{T} [x,y]T，那它的面积是多大呢？
其实这就是我们之前提及的平行四边形的变换。变换前，面积是未知输入向量的y坐标值。
所以，变换后的面积等于矩阵的行列式乘以y值（矩阵行列式是面积伸缩比例，y是变换前的面积）。
故，可用输出的平行四边形面积，除以矩阵的行列式计算出y。
y = A r e a d e t ( A ) y=\frac{Area}{det(A)} y=det(A)Area
那怎么计算出面积呢？
既然我们已知最终变换后的向量，毕竟这是一个线性方程组，可以构造一个新矩阵，第一列和我们原先的矩阵相同，而第二列是输出向量，然后取新矩阵行列式（其实就是底乘高）。
