向量组的秩(4)

极大线性无关组:

的部分组

1）线性无关

2）每个向量均可由 ，线性表示 

，是极大线性无关组

如

，，，的极大线性无关组

，，也可以是，等。

极大线性无关组的不唯一性。

任意两个极大线性无关组，含有的向量个数是相同的。

向量组的秩：极大线性无关组含向量的个数。

n+1个n维线性向量线性相关，所以向量组的秩取min{向量的个数,向量的维数}

如：

，，这三个二维向量，任取两个是线性无关的，但是三个就是线性相关的

1*K1+0*K2+3*K3=0

2*K1+1*K2+0*K3=0

取K3=1,则K1=-3,K2=6,呈线性相关

0r()min{向量的个数,向量的维数}

 如果线性无关，则它的秩即是S，它本身。

1。如果可由1，2。。。t表示，则它的秩

r()r( 1，2。。。t)

2。若两个向量组等价，则它的秩相等。

行秩与列秩

矩阵A

=（1，1，1，1，1，3）

=（0，2，1，1，5，6）

=（9，1，0，0，1，1）

这三个向量为行向量组，行向量组的秩就叫行秩。

=,列向量组的秩就叫列秩。

行秩，因为最多只有三行，所以最大的秩是3，而列秩虽然有6组，但其是三维向量，所以其最大也是3。

得出定理:矩阵的行秩一定等于矩阵的列秩，并且等于矩阵的秩r(A).

矩阵的秩 r(A)=2 (非零子式为2阶子式）

在矩阵中选取k行与k列，交叉点上的k^2个元素按原来位置组成的行列式称为一个k阶子式。若这个子式不等于0，就称为一个非零子式。

,，这两列能表示所有的列，列秩为2。

r(AB)min{r(A),R(B)}  A乘B的秩小于等于A的秩与B的秩的较小者。

例：

求矩阵A=的行秩

行秩=列秩=r(A)

通过初等变换把它化成阶梯形

  则它的行秩等于r(A)=2

初等行变换不改变列向量组的线性关系。

如：矩阵A=进行初等行变换后，

即第一行加到第三行，第二行加到第三行后的矩阵B

=,=,=

即与线性无关

=5+3

而进行过初等变换的列向量组也有同样的线性关系，

= = =

与线性无关

= 5+3

例：

1。不管原向量是行或列向量，均按列构成矩阵。

只用初等行变换化成简化阶梯型

首非零元所在的列做极大线性无关组

=,=为极大线性无关组。其系数直接写出来 就可以了。

=-3+1/2

=6-3/2

因为初等行变换不改变列向量组的线性关系。所以

与是极大线性无关组

=-3+1/2

=6-3/2 

例 ：

如下矩阵看上去已经化成简化矩阵但是其实还需化简，

首非零元素所在的列的其余元素为0

需第二行减去第一行化成

这样得出的线性关系才是准备的