【离散数学】总复习知识框架

第四章 关系

4.1 有序对与笛卡尔积

考点：求解笛卡尔积

4.2 二元关系

考点：

1. 写出集合A到B的二元关系（即求A与B的笛卡尔积）
2. 写出集合A上的全域关系（全域关系为A与A的笛卡尔积）
3. 写出集合A上的恒等关系（{x,x})
4. 关系的定义域、值域
5. 关系的表达方法：集合表示法，关系图，关系矩阵
   关系矩阵的为布尔矩阵

4.3 关系的运算

逆运算，复合运算，幂运算

考点：

1. 求复合关系
2. 求幂运算（集合描述法，布尔矩阵的逻辑

4.4 关系的性质

考点：

1. 性质的判定
2. 全域关系：自反性，对称性，传递性
3. 恒等关系：自反性，对称性，反对称，传递性
4. 空关系：反自反性，对称性，反对称性，传递性

4.5 关系的闭包

关系闭包的构造（集合描述法，关系矩阵法）

4.6 等价关系与等价类与商集

• 等价关系：自反、对称、传递
• 商集：以关系中所有等价类为元素构成的集合记作A/R
• 划分：四个条件1. 是幂集的子集 2.非空 3.并集为全集 4.不相交

考点：

1. 判断是否为划分
2. 由划分求等价关系（求笛卡尔积然后并）
3. 求集合上所有等价关系及其对应的商集
   1. 画出划分
   2. 写出关系
   3. 写出商集

4.7 偏序关系

• 偏序关系：自反、反对称、传递

考点：

1. 已知偏序关系求哈斯图
2. 已知哈斯图求偏序关系
3. 根据哈斯图写出最大元，最小元，极大元，极小元

第六章 高级计数技术

6.1 常系数齐次递推方程

步骤：

1. 写出特征方程并求特征方程的根
2. 根据特征方程的根写出方程的解
3. 将解带入原递推方程求未知数
4. 得到结论

6.1.1 特征根为单根的情况

6.1.2 特征根为重根的情况

6.2 常系数非齐次递推方程

解=通解+特解
通解为对应的齐次递推方程的解
特解求法：根据F(n)的形式求解

6.2.1 右侧为n的t次多项式

特征根不是1

根据右侧多项式设特解，并带入原方程求特解

特征根是1

将特解的次数提高1次

6.2.2 右侧为指数函数A贝塔的n次方

贝塔是不是特征根

特解设为Cb的n次方

贝塔是e重特征根

特解设为c n的e次方 b的n次方

• 总之对于齐次和非齐次方程如果特征方程是重根就提高通解和特解的次数

第七章 图论

考点：

1. 握手定理
2. 握手定理的推广：奇度节点数为偶数
3. 可图化：度数列之和为偶数，最大度数小于等于n-1
4. 图同构的必要条件：

• 结点数相同
• 边数相同
• 度数列相同
• 相同长度回路数相同

由邻接矩阵求通路数和回路数 174页

第八章 特殊图

考点：

1. 欧拉图、欧拉通路、欧拉回路的的判定
2. 哈密顿通路回路的判定
3. 最短路径问题：迪杰斯特拉算法
4. 二分图的判定：二分图是无奇数长度的回路
5. 平面图

• 定义：图画在平面上，任意两遍不相交
• 面的次数：一个面对边界包含的边数
• 所有面的次数之和等于边数的两倍 n=2e

6. 欧拉公式：点-边+面=2

• 推论：简单连通平面图：边数e<=3n-6 n是点 （必要条件）

7. 着色问题

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考完了，考试还听基础的，基础是王道！