数据结构-平衡二叉树（AVL Tree）

在 数据结构-二叉树(binary tree)-二叉查找树(binary search tree) 的最后面，提到过在二叉树中增加或者删除节点，可能导致树的左右子树高度相差很多，即导致树不平衡。为了解决这个问题，规定在插入或者删除节点的时候，必须保证每一个节点的左右子树的高度差的绝对值不超过1，| height(left) - height(right) | <= 1。这样的二叉树称为平衡二叉树（AVL Tree）。定义左右子树的高度差的绝对值为平衡因子。

来源：http://www.cnblogs.com/zhuwbox/p/3636783.html

判断AVL Tree

根绝平衡二叉树的定义，可以很容易实现判断二叉树是否为平衡二叉树

bool IsBalanced1 (Node *root)
{
    if (root == NULL) return true;

    int left = TreeHeight(root->left);
    int right = TreeHeight(root->right);
    int diff = left - right;
    if (diff < -1 || diff > 1)
        return false;
    else
        return (IsBalanced1(root->left) && IsBalanced1(root->left));
}

这个方法通过先计算左右子树的高度，再判断二叉树是否为二叉树。方便理解，但是这种方法访问了很多次某些节点，特别是越接近叶节点的节点。在计算整棵树的高度时访问了所有的节点，接着又分别计算以根节点的左右子节点为根节点的二叉树高度，再次访问了除根节点以外的所有节点，如此导致大量重复访问。一棵平衡二叉树的任意一个子树也都是一个平衡二叉树，因此可以考虑从下往上遍历，如果发现一棵子树不是平衡二叉树，那么整棵树肯定不是平衡二叉树，如此减少大量的重复访问。

bool IsBalanced2 (Node *root, int& depth)
{
    if (root == NULL) {
        depth = 0;
        return true;
    }

    int left, right;
    if (IsBalanced2(root->left, left) && IsBalanced2(root->right, right)) {
        int diff = left - right;
        if (diff >= -1 && diff <= 1) {
            depth = 1 + (left > right ? left : right);
            return true;
        }
    }
    return false;
}

当插入或者删除