高度平衡二叉搜索树（AVLTree）
高度平衡二叉搜索树（AVLTree）
目录
- AVL树的概念
- AVL树节点的定义
- AVL树的插入
- AVL树的旋转
-
- 右单旋
- 左单旋
- 左右双旋
- 右左双旋
- AVL树的验证
- 代码实现
AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1,平衡因子的求法=右子树高度-左子树的高度
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O(log2N)，搜索时间复杂度O( log2N)。
AVL树节点的定义
AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子
pair<Node*, bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return make_pair(_root, true);
}
// 找到存储位置，把数据插入进去
Node* parent = _root, *cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return make_pair(cur, true);
}
}
cur = new Node(kv);
Node* newnode = cur;
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 控制平衡
// 1、更新平衡因子
// 2、如果出现不平衡，则需要旋转
//while (parent)
while (cur != _root)
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
// parent所在的子树高度变了，会影响parent->parent
// 继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//parent所在子树已经不平衡，需要旋转处理一下
if (parent->_bf == -2)
{
if (cur->_bf == -1)
{
// 右单旋
RotateR(parent);
}
else // cur->_bf == 1
{
RotateLR(parent);
}
}
else // parent->_bf == 2
{
if (cur->_bf == 1)
{
// 左单旋
RotateL(parent);
}
else // cur->_bf == -1
{
RotateRL(parent);
}
}
break;
}
else
{
// 插入节点之前，树已经不平衡了，或者bf出错。需要检查其他逻辑
assert(false);
}
}
return make_pair(newnode, true);
}
AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
1. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
2. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentParent->_left == parent)
parentParent->_left = subL;
else
parentParent->_right = subL;
subL->_parent = parentParent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
左单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentParent->_left == parent)
parentParent->_left = subL;
else
parentParent->_right = subL;
subL->_parent = parentParent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
// ...平衡因子调节还需要具体分析
if (bf == -1)
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
// 平衡因子更新
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
-
验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 -
验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":"<<root->_kv.second<<endl;
_InOrder(root->_right);
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
}
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 检查一下平衡因子是否正确
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << "平衡因子异常:"<<root->_kv.first<<endl;
return false;
}
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
}
bool IsAVLTree()
{
return _IsBalance(_root);
}
代码实现
#pragma once
#include