射线与平面相交判断

1 射线

定义

在欧几里德几何中，射线的定义如下：

直线上一点和它一旁的部分，由此知射线有两个性质：

1. 有一个端点

2. 一端无线延伸

参数方程

p(t) = p0 + tu

p0 是射线的起点， u是射线的方向向量，t∈[0,∞) 

解释一下这个方程，见下图，根据t的取值不同，可得射线上不同的点，所有这些点便构成了整个射线（红色部分）

 

 

 

2 平面

定义

中文的没找到，英文的：In mathematics, a plane is a flat surface

一个平面可以由平面上的一点p0 和平面的法向量n来确定（过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直），如下图

 

参数方程

平面是由无穷多个点组成的，对于过点p0 且法向量为n的平面来说，其上任意一点p满足如下方程

n•(p - p0) = 0

解释一下, 符号“•”表示dot product(点积)，因n与平面垂直，所以n与平面内任意直线垂直，而p - p0则是平面内的一个向量，所以n与p - p0垂直，又因为互相垂直的向量其点积为0，所以就有了上面的方程。见下图

向量的点积：对于任意两个向量V1(x1, y1, z1)与V2(x2, y2, z2)，V1•V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2  

 

 3 切入正题，射线与平面相交。

　　射线若于平面相交，则交点一定在平面上，设交点为p,那么p一定同时满足射线的方程和平面的方程，于是

　　p(t) = p0 + tu //这里的p0是射线的起点　

　　n•(p - p0) = 0 //这里的p0是平面所过的点

　　注意，这两个方程中的p0是不同的，为区别，将平面方程中的p0改为p1，然后将射线方程代入平面方程

　　n•(p0 + tu – p1) = 0 整理后得到

　　t = (n•p1 – n•p0) / n•u （注意：n不可约去）

      由向量点乘分配律得：

      t = n•(p1-p0)/n•u

　　若t∈[0,∞)，则射线与平面相交，且交点为p0 + tu，将上面的t带入射线方程即可否则不相交。