求最长上升子序列长度——C++

声明：本文原题主要来自力扣，记录此博客主要是为自己学习总结，不做任何商业等活动！

一、下面是原题描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

 
示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

1.1题目分析

拿道题目，第一思路是先分析。

求数组最长上升子序列，也就是意味着要遍历整个数组中所有子序列，这时可以考虑是否可以用动态规划。由于动态规划知识，知道这是一题线性动态规划的题目，可以采用线性动态规划解法，即使经典的LIS(Longest Increasing Subsequence)。

动态规划满足三个条件：状态方程、状态转移方程、边界条件，根据分析可知该题满足条件，下面是分析的动态转移方程：

nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
f(i) = max(f(j)) + 1, 0 <= i <= n, 0 <= j < i - 1; 满足条件nums[i] > nums[j];
i = 0, f(0) = 0;
i = 1, f(1) = 1;
i = 2, f(2) = max(f(1)) + 1;
i = n, f(n) = max(f(j)) + 1; 满足条件nums[i] > nums[j];

子序列个数n	1	2	3	4	5	6	7	8
元素值	10	9	2	5	3	7	101	18
LIS	1	1	1	2	2	3	4	4

1.2代码实现分析

由上面的状态转移方程和表格可知，需要求有n个子序列长度的LIS，就必须先求出第0个，然后退出第1个LIS，一直到该子序列最大长度。假如满足条件nums[i]>nums[j]，每一个都在前面的基础上递加1.即关键实现代码如下：

for (int i = 0; i < size; ++i) // 遍历i个个数的子序列
{
    dp[i] = 1;
    for (int j = 0; j < i; ++j) // 求每个子序列的LIS
        if (nums[i] > nums[j])
            dp[i] = std::max(dp[i], dp[j] + 1); // 这里是关键，每次返回最大值
}

1.3完整代码

class Solution {
    /*
    nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
    f(i) = max(f(j)) + 1 , 0 <= i <= n, 0 <= j < i - 1;满足条件nums[i]>nums[j];
    i=0,f(0)=0;
    i=1, f(1)=1;
    i=2, f(2)=max(f(1))+1;
    i=n, f(n)=max(f(j))+1;满足条件nums[i]>nums[j];
    */
public:
    int lengthOfLIS(vector& nums) {
        int size = nums.size();
        if (!size) // 异常判断
            return 0;
        vector dp(size, 0); // 存储n个个数分别为1—n的子序列的LIS

        for (int i = 0; i < size; ++i) // 遍历i个个数的子序列
        {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; ++j) // 求每个子序列的LIS
                if (nums[i] > nums[j])
                    dp[i] = std::max(dp[i], dp[j] + 1); // 这里是关键，每次返回最大值
        }
        return *std::max_element(dp.begin(), dp.end()); // 返回最大值
    }
};

1.4结果

1.5复杂度分析

由上面代码实现可知，经过了双层遍历，即时间复杂度为O(n^2)；申请了n个长度的数组空间，故空间复杂度为O(n)。