搜索与图论-最小生成树（Prim 算法和 Kruskal 算法）

一、最小生成树简介

• 最小生成树是指一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。
• 在一给定的无向图 G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集且为无循环图，使得联通所有结点的的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。
• 最小生成树是最小权重生成树的简称，可以用 Kruskal（克鲁斯卡尔）算法或 Prim（普里姆）算法求出。
• 这里需要注意的是：
• （1） 最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且最小的。
• （2） 最小生成树的边数 = 定点数 - 1，砍掉一条则不连通，增加一条则会出现回路。
• （3） 若一个连通图本身就是一颗树，则其最小生成树就是它本身。
• （4） 只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林。

二、Prim 算法实现最小生成树

1. Prim 算法

• Prim 算法采用的是一种贪心的策略。
• 每次将离连通部分的最近的点和点对应的边加入的连通部分，连通部分逐渐扩大，最后将整个图连通起来，并且边长之和最小。
• 我们将图中各个节点用数字 1 ~ n 编号。

• 要将所有景点连通起来，并且边长之和最小，步骤如下：
• （1） 用一个 state 数组表示节点是否已经连通。state[i] 为真，表示已经连通，state[i] 为假，表示还没有连通。初始时，state 各个元素为假。即所有点还没有连通。
• 用一个 dist 数组保存各个点到连通部分的最短距离，dist[i] 表示 i 节点到连通部分的最短距离。初始时，dist 数组的各个元素为无穷大。
• 用一个 pre 数组保存节点的是和谁连通的。pre[i] = k 表示节点 i 和节点 k 之间需要有一条边。初始时，pre 的各个元素置为 -1。

• （2） 从 1 号节点开始扩充连通的部分，所以 1 号节点与连通部分的最短距离为 0，即 disti[1] 置为 0。

• （3） 遍历 dist 数组，找到一个还没有连通起来，但是距离连通部分最近的点，假设该节点的编号是 i。i 节点就是下一个应该加入连通部分的节点，stata[i] 置为 1。
• 用青色点表示还没有连通起来的点，红色点表示连通起来的点。
• 这里青色点中距离最小的是 dist[1]，因此 state[1] 置为 1。

• （4）遍历所有与 i 相连但没有加入到连通部分的点 j，如果 j 距离连通部分的距离大于 i j 之间的距离，即 dist[j] > w[i][j]（w[i][j] 为 i，j 节点之间的距离），则更新 dist[j] 为 w[i][j]。
• 这时候表示，j 到连通部分的最短方式是和 i 相连，因此，更新 pre[j] = i。
• 与节点 1 相连的有 2， 3， 4 号节点。1->2 的距离为 100，小于 dist[2]，dist[2] 更新为 100，pre[2] 更新为1。1->4 的距离为 140，小于 dist[4]，dist[4] 更新为 140，pre[2] 更新为1。1->3 的距离为 150，小于 dist[3]，dist[3] 更新为 150，pre[3] 更新为1。

• （5）重复 3，4 步骤，直到所有节点的状态都被置为 1。
• 这里青色点中距离最小的是 dist[2]，因此 state[2] 置为 1。

• 与节点 2 相连的有 5， 4 号节点。2->5 的距离为 80，小于 dist[5]，dist[5] 更新为 80，pre[5] 更新为 2。2->4 的距离为 80，小于 dist[4]，dist[4] 更新为 80，pre[4] 更新为 2。

• 选 dist[4]，更新 dist[3]，dist[5]，pre[3]，pre[5]。

• 选 dist[5]，没有可更新的。

• 选 dist[3]，没有可更新的。

• 此时 dist 数组中保存了各个节点需要修的路长，加起来就是。pre 数组中保存了需要选择的边。

2. Prim 算法具体实现详见例题 Prim 算法求最小生成树。

三、Kruskal 算法实现最小生成树

1. Kruskal 算法思路

• 将所有边按照权值的大小进行升序排序，然后从小到大一一判断。
• 如果这个边与之前选择的所有边不会组成回路，就选择这条边分；反之，舍去。
• 直到具有 n 个顶点的连通网筛选出来 n-1 条边为止。
• 筛选出来的边和所有的顶点构成此连通网的最小生成树。
• 判断是否会产生回路的方法为：使用并查集。
• 在初始状态下给各个个顶点在不同的集合中。
• 遍历过程的每条边，判断这两个顶点的是否在一个集合中。
• 如果边上的这两个顶点在一个集合中，说明两个顶点已经连通，这条边不要。如果不在一个集合中，则要这条边。

2. Kruskal 算法实现过程

• 举个例子，下图一个连通网，Kruskal 算法查找图 1 对应的最小生成树，需要经历以下几个步骤：

• 将连通网中的所有边按照权值大小做升序排序：

• 从 B-D 边开始挑选，由于尚未选择任何边组成最小生成树，且 B-D 自身不会构成环路，所以 B-D 边可以组成最小生成树。

• D-T 边不会和已选 B-D 边构成环路，可以组成最小生成树：

• A-C 边不会和已选 B-D、D-T 边构成环路，可以组成最小生成树：

• C-D 边不会和已选 A-C、B-D、D-T 边构成环路，可以组成最小生成树：

• C-B 边会和已选 C-D、B-D 边构成环路，因此不能组成最小生成树：

• B-T 、A-B、S-A 三条边都会和已选 A-C、C-D、B-D、D-T 构成环路，都不能组成最小生成树。而 S-A 不会和已选边构成环路，可以组成最小生成树。

• 如图下图 所示，对于一个包含 6 个顶点的连通网，我们已经选择了 5 条边，这些边组成的生成树就是最小生成树。

3. Kruskal 算法具体实现详见例题 Kruskal 算法求最小生成树。

四、Prim 算法例题——Prim 算法求最小生成树

题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图 G = (V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n = |V|，m = |E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1 ≤ n ≤ 500
1 ≤ m ≤ 1e5
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。

输入样例

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例

6

实现代码

#include 

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N];
//dist[N]表示边长
int dist[N];
//st[N]表示是否使用过
bool st[N];


int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
        {
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
            {
                t = j;
            }
        }

        if (i && dist[t] == INF)
        {
            return INF;
        }

        if (i)
        {
            res += dist[t];
        }
        st[t] = true;

        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
        {
            dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
        }
    }

    return res;
}


int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(g, 0x3f, sizeof g);

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        //可能会有重边，取最小值
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }

    int t = prim();

    if (t == INF) 
    {
        puts("impossible");
    }
    else
    {
        cout << t << endl;
    }

    return 0;
}

五、Kruskal 算法例题——Kruskal 算法求最小生成树

题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图 G = (V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n = |V|，m = |E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1 ≤ n ≤ 1e5
1 ≤ m ≤ 2∗1e5
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。

输入样例

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例

6

实现代码

#include 

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int p[N];

struct Edge
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x)
    {
        p[x] = find(p[x]);
    }
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        p[i] = i;    // 初始化并查集
    }

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1)
    {
        return INF;
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        edges[i] = {a, b, w};
    }

    int t = kruskal();

    if (t == INF)
    {
        puts("impossible");
    }
    else 
    {
        cout << t << endl;
    }

    return 0;
}