acwing算法基础之搜索与图论--bellman-ford算法

1 基础知识

对于单源最短路问题，且存在负权重的边时，使用bellman-ford算法来进行求解。但，如果图中存在负权环，那该最短路问题可能无解（如果最短路径上存在负权环，那一直绕着负权环走，最短距离可以等于负无穷大）。bellman-ford算法可以用来找负权环，但一般不使用它来找负权环，而是用spfa算法来找负权环。

bellman-ford算法的关键步骤：

1. 初始化距离数组dist，然后dist[1] = 0。
2. 循环处理n次（表示最短路径上允许最多有n条边）。
3. 对于每一次循环，备份距离数组dist得到backup，遍历每一条边(a,b,w)，执行操作dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w)，该操作也被称为松弛操作。
4. dist[n]，即为1号结点到n号结点的最短距离。如果dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2，返回-1，即答案不存在；否则，返回dist[n]。

bellman-ford算法的时间复杂度是O(nm)。

bellman-ford算法的核心是三角不等式，即dist[b] <= dist[a] + edge[a][b]。

2 模板

int n, m;       // n表示点数，m表示边数
int dist[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离

struct Edge     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
    int a, b, w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            if (dist[b] > dist[a] + w)
                dist[b] = dist[a] + w;
        }
    }

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}

3 工程化

题目1：最短路径上最多允许有k条边，图中存在负权边，求最短路。

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510, M = 10010;
int n, m, k;
int dist[N], backup[N];
struct Edge {
    int a,b,w;
}edges[M];

void bellman_ford() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    
    for (int i = 0; i < k; ++i) {//最短路径上最多存在k条边
        memcpy(backup, dist, sizeof dist);
        
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w);
        }
    }
    
    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) cout << "impossible" << endl;
    else cout << dist[n] << endl;
    
    return;
}

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        cin >> edges[i].a >> edges[i].b >> edges[i].w;
    }
    
    bellman_ford();
    
    return 0;
}