1010. 拦截导弹，贪心（附贪心证明），dp

1010. 拦截导弹 - AcWing题库

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。

但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。

某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。

由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式

共一行，输入导弹依次飞来的高度。

输出格式

第一行包含一个整数，表示最多能拦截的导弹数。

第二行包含一个整数，表示要拦截所有导弹最少要配备的系统数。

数据范围

雷达给出的高度数据是不大于 3000030000 的正整数，导弹数不超过 10001000。

输入样例：

389 207 155 300 299 170 158 65

输出样例：

6
2

 解析：

贪心猜想：
从前往后扫描每个数，对于每个数：
情况1：如果现存的下降子序列的结尾的数都小于当前的数，则创建新的子序列
情况2：将当前数放到子序列结尾数最小的大于等于它的子序列后面

贪心猜想的证明：
令 A = 贪心的结果，B = 最优解；
则只需证明 A<=B 且 B<=A；（常用贪心证明方式）

B<=A:
这显然成立，因为 B 为最优解
A<=B：
使用调整法：
最优情况下放置的位置非当前 X 放置的位置，则最有情况下放置的位置的结尾数一定小于当前 X 放置的位置，则我们根据上述贪心的方法一定可以将 X 放置到最优情况的位置，且不增加下降子序列的个数
所以：A<=B
综上所述，此贪心方法一定可以得到最优解

我们发现这个方法是最长上升子序列问题 的贪心解法
896. 最长上升子序列 II - AcWing题库

 这道题的另一种就是直接使用Dilworth 定理

 dp1，ACM暑期培训-CSDN博客

这里我们实际上是将这个定理给证明了；

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