KMP算法具体解释

作者:July。
出处http://blog.csdn.net/v_JULY_v/

引记

    此前一天,一位MS的朋友邀我一起去与他讨论高速排序,红黑树,字典树,B树、后缀树,包含KMP算法,只有在解说KMP算法的时候,言语磕磕碰碰,我想,原因有二:1、博客内的东西不常回想,忘了不少;2、便是我对KMP算法的理解还不够彻底,自不用说解说自如,运用自如了。所以,特再写本篇文章。因为此前,个人已经写过关于KMP算法的两篇文章,所以,本文名为:KMP算法之总结篇。

   本文分为例如以下六个部分:

  1. 第一部分、再次回想普通的BF算法与KMP算法各自的时间复杂度,并两相对比各自的匹配原理;
  2. 第二部分、通过我此前第二篇文章的引用,用图从头到尾具体阐述KMP算法中的next数组求法,并运用求得的next数组写出KMP算法的源代码;
  3. 第三部分、KMP算法的两种实现,代码实现一是依据本人关于KMP算法的第二篇文章所写,代码实现二是依据本人的关于KMP算法的第一篇文章所写;
  4. 第四部分、測试,分别对第三部分的两种实现中next数组的求法进行測试,挖掘其差别之所在;
  5. 第五部分、KMP完整准确源代码,给出KMP算法的准确的完整源代码;
  6. 第六步份、一眼看出字符串的next数组各值,通过几个样例,让读者能依据字符串本身一眼推断出其next数组各值。

    力求让此文彻底让读者洞穿此KMP算法,全部原理,来龙去脉,让读者搞个通通透透注意本文中第二部分及第三部分的代码实现一的字符串下标i 从0開始计算,其他部分如第三部分的代码实现二,第五部分,和第六部分的字符串下标i 皆是从1開始的)。

    在看本文之前,你心中如若对前缀和后缀这个两个概念有自己的理解,便最好了。有些东西比方此KMP算法须要我们重复思考,重复求解才行。个人写的关于KMP算法的第二篇文章为:六(续)、从KMP算法一步一步谈到BM算法;第一篇为:六、教你初步了解KMP算法、updated(文末链接)。ok,若有不论什么问题,恳请不吝指正。多谢。

第一部分、KMP算法初解

1普通字符串匹配BF算法与KMP算法的时间复杂度比較

    KMP算法是一种线性时间复杂的字符串匹配算法,它是对BF算法(Brute-Force,最主要的字符串匹配算法的)改进。对于给的原始串S和模式串P,须要从字符串S中找到字符串P出现的位置的索引。

BF算法的时间复杂度O(strlen(S) * strlen(T)),空间复杂度O(1)

KMP算法的时间复杂度O(strlen(S) + strlen(T)),空间复杂度O(strlen(T))

2BF算法与KMP算法的差别

    如果如今S串匹配到i位置,T串匹配到j位置。那么总的来说,两种算法的主要差别在于失配的情况下,对[j] 的值做的处理

   BF算法中,假设当前字符匹配成功,即s[i+j] == T[j],令j++,继续匹配下一个字符;假设失配,即S[i + j] != T[j]须要让i++,而且j= 0,即每次匹配失败的情况下,模式串T相对于原始串S向右移动了一位。

    而KMP算法中,假设当前字符匹配成功,即S[i]==T[j],令i++j++,继续匹配下一个字符;假设匹配失败,即S[i] != T[j],须要保持i不变,而且让j = next[j],这里next[j] <=j -1,即模式串T相对于原始串S向右移动了至少1(移动的实际位数j - next[j]  >=1),

    同一时候移动之后,i之前的部分(即S[i-j+1 ~ i-1]),和j=next[j]之前的部分(即T[0 ~ j-2])仍然相等。显然,相对于BF算法来说,KMP移动很多其它的位数,起到了一个加速的作用! (失配的特殊情形,令j=next[j]导致j==0的时候,须要将i ++,否则此时没有移动模式串)

3、BF算法为什么要回溯

首先说一下为什么BF算法要回溯。例如以下两字符串匹配(恰如上面所述:BF算法中,假设当前字符匹配成功,即s[i+j] == T[j],令j++,继续匹配下一个字符):

      i+jjT中的j++变,而动)

S:aaaacefghij

         j++

T:aaac 

假设不回溯的话就是从下一位開始比起:

aaaacefghij

        aaac

看到上面红颜色的没,假设不回溯的话,那么从a 的下一位c 比起。然而下述这样的情况就漏了(正确的做法当然是要回溯:假设失配,即S[i + j] != T[j]须要让i++,而且j= 0):

aaaacefghij

  aaac

    所以,BF算法要回溯,其代码例如以下:

  1. int Index(SString S, SString T, int pos) {  
  2.    //返回T在S中第pos个字符之后的位置  
  3.    i=pos; j=1;k=0;  
  4.   while ( i< = S[0] && j< = T[0] ) {  
  5.       if (S[i+k] = = T[j] ) {++k;  ++j;}   //继续比較兴许字符  
  6.       else {i=i+1;   j=1; k=0;}      //指针回溯到 下一首位,又一次開始  
  7.   }  
  8.   if(j>T[0]) return i;          //子串结束,说明匹配成功  
  9.   else return  0;  
  10. }//Index  

  只是,也有特殊情况能够不回溯,例如以下:
abcdefghij(主串)
abcdefg(模式串)
  即(模式串)没有同样的才不须要回溯。


4KMP 算法思想
    普通的字符串匹配算法必需要回溯。但回溯就影响了效率,回溯是由T串本身的性质决定的,是由于T串本身有前后'部分匹配'的性质。像上面所说假设主串为abcdef这种,大没有回溯的必要。

    改进的地方也就是这里,我们从T串本身出发,事先就找准了T自身前后部分匹配的位置,那就能够改进算法。

    假设不用回溯,那模式串下一个位置从哪里開始呢?

    还是上面那个样例,T(模式串)ababc,假设c失配,那就能够往前移到aba最后一个a的位置,像这样:

...ababd...

   ababc

    ->ababc

这样i不用回溯,j跳到前2个位置,继续匹配的过程,这就是KMP算法所在。这个当T[j]失配后,j 应该往前跳的值就是jnext,它是由T串本身固有决定的,与S(主串)无关


5、next数组的含义

重点来了。以下解释一下next数组的含义,这个也是KMP算法中比較不好理解的一点。

  令原始串为: S[i],当中0<=i<=n;模式串为: T[j],当中0<=j<=m

  如果眼下匹配到例如以下位置

               S0,S1,S2,...,Si-j,Si-j+1...............,Si-1, Si, Si+1,....,Sn

                                   T0,T1,.....................,Tj-1, Tj, ..........

  ST的绿色部分匹配成功,恰好到SiTj的时候失配,如果要保持i不变,同一时候达到让模式串T相对于原始串S右移的话,能够更新j的值,让Si和新的Tj进行匹配,如果新的jnext[j]表示,即让Sinext[j]匹配,显然新的j值要小于之前的j值,模式串才会是右移的效果,也就是说应该有next[j] <= j -1。那新的j值也就是next[j]应该是多少呢?我们观察例如以下的匹配:

      1)假设模式串右移1位(从简单的思考起,移动一位会怎么样),即next[j] = j - 1, 即让蓝色的SiTj-1匹配 (注:省略号为未匹配部分)

               S0,S1,S2,...,Si-j,Si-j+1...............,Si-1, Si, Si+1,....,Sn

                                   T0,T1,.....................,Tj-1, Tj, .......... (T的划线部分和S划线部分相等【1】)

                                        T0,T1,.................Tj-2,Tj-1, ....... (移动后的T的划线部分和S的划线部分相等【2】)

        依据【1】【2】能够知道当next[j] =j -1,即模式串右移一位的时候,有T[0 ~ j-2] == T[1 ~ j-1],而这两部分恰好是字符串T[0 ~j-1]的前缀和后缀,也就是说next[j]的值取决于模式串Tj前面部分的前缀和后缀相等部分的长度(好好揣摩这两个keyword概念:前缀、后缀,或者再想想,我的上一篇文章,从Trie树谈到后缀树中,后缀树的概念)。

      2)假设模式串右移2位,即next[j] = j - 2, 即让蓝色的SiTj-2匹配    

               S0,S1,...,Si-j,Si-j+1,Si-j+2...............,Si-1, Si, Si+1,....,Sn

                                   T0,T1,T2,.....................,Tj-1, Tj, ..........(T的划线部分和S划线部分相等【3】)

                                              T0,T1,...............,Tj-3,Tj-2,.........(移动后的T的划线部分和S的划线部分相等【4】)

        相同依据【3】【4】能够知道当next[j] =j -2,即模式串右移两位的时候,有T[0 ~ j-3] == T[2 ~ j-1]。而这两部分也恰好是字符串T[0 ~j-1]的前缀和后缀,也就是说next[j]的值取决于模式串Tj前面部分的前缀和后缀相等部分的长度

     3)依次类推,能够得到例如以下结论:当发生失配的情况下,j的新值next[j]取决于模式串中T[0 ~ j-1]中前缀和后缀相等部分的长度, 而且next[j]恰好等于这个最大长度

    为此,请再同意我引用上文中的一段原文:KMP算法中,假设当前字符匹配成功,即S[i]==T[j],令i++j++,继续匹配下一个字符;假设匹配失败,即S[i] != T[j],须要保持i不变,而且让j = next[j],这里next[j] <=j -1,即模式串T相对于原始串S向右移动了至少1(移动的实际位数j - next[j]  >=1),

    同一时候移动之后,i之前的部分(即S[i-j+1 ~ i-1]),和j=next[j]之前的部分(即T[0 ~ j-2])仍然相等。显然,相对于BF算法来说,KMP移动很多其它的位数,起到了一个加速的作用(失配的特殊情形,令j=next[j]导致j==0的时候,须要将i ++,否则此时没有移动模式串)。”

    于此,也就不难理解了我的关于KMP算法的第二篇文章之中:当匹配到S[i] != P[j]的时候有 S[i-j…i-1] = P[0…j-1]. 假设以下用j_next去匹配,则有P[0…j_next-1] = S[i-j_next…i-1] = P[j-j_next…j-1]。此步骤例如以下图3-1所看到的。

  当匹配到S[i] != P[j]时,S[i-j…i-1] = P[0…j-1]

S: 0 … i-j … i-1 i …

P:       0 …   j-1 j …

  假设以下用j_next去匹配,则有P[0…j_next-1] = S[i-j_next…i-1] = P[j-j_next…j-1]。
所以在P中有例如以下匹配关系(获得这个匹配关系的意义是用来求next数组)

P: 0 … j-j_next  .…j-1_    …

P:        0    … .j_next-1

  所以,依据上面两个步骤,推出下一匹配位置j_next:

S: 0 … i-j … i-j_next …   i-1      i …

P:                   0   … j_next-1 j_next …

             图3-1 求j-next(最大的值)的三个步骤

    以下,我们用变量k来代表求得的j_next的最大值,即k表示这S[i]、P[j]不匹配时P中下一个用来匹配的位置,使得P[0…k-1] = P[j-k…j-1],而我们要尽量找到这个k的最大值。”。

      依据上文的【1】与【2】的匹配情况,可得第二篇文章之中所谓的k=1(如aaaa的形式),依据上文的【3】与【4】的匹配情况,k=2(如abab的形式)。

     所以,归根究底,KMP算法的本质便是:针对待匹配的模式串的特点,推断它是否有反复的字符,从而找到它的前缀与后缀,进而求出对应的Next数组,终于依据Next数组而进行KMP匹配。接下来,进入本文的第二部分。

第二部分、next数组求法的来龙去脉与KMP算法的源代码

    本部分引自个人此前的关于KMP算法的第二篇文章:六之续、由KMP算法谈到BM算法。前面,我们已经知道即不能让P[j]=P[next[j]]成立成立。不能再出现上面那样的情况啊!即不能有这样的情况出现:P[3]=b,而竟也有P[next[3]]=P[1]=b

    正如在第二篇文章中,所提到的那样:“这里读者理解可能有困难的是由于文中,时而next,时而nextval,把他们的思维搞混乱了。事实上next用于表达数组索引,而nextval专用于表达next数组索引下的详细各值,差别细微。至于文中说不同意P[j]=P[next[j] ]出现,是由于已经有P[3]=b与S[i]匹配败,而P[next[3]]=P1=b,若再拿P[1]=b去与S[i]匹配则必败。”--六之续、由KMP算法谈到BM算法。

   又恰恰如上文中所述:“模式串T相对于原始串S向右移动了至少1(移动的实际位数j - next[j]  >=1)

    ok,求next数组的get_nextval函数正确代码例如以下:

  1. //代码4-1    
  2. //修正后的求next数组各值的函数代码    
  3. void get_nextval(char const* ptrn, int plen, int* nextval)    
  4. {    
  5.     int i = 0;     
  6.     nextval[i] = -1;    
  7.     int j = -1;    
  8.     while( i < plen-1 )    
  9.     {    
  10.         if( j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j] )   //循环的if部分    
  11.         {    
  12.             ++i;    
  13.             ++j;    
  14.             //修正的地方就发生以下这4行    
  15.             if( ptrn[i] != ptrn[j] ) //++i,++j之后,再次推断ptrn[i]与ptrn[j]的关系    
  16.                 nextval[i] = j;      //之前的错误解法就在于整个推断仅仅有这一句。    
  17.             else    
  18.                 nextval[i] = nextval[j];    
  19.         }    
  20.         else                                 //循环的else部分    
  21.             j = nextval[j];    
  22.     }    
  23. }    

    举个样例,举例说明下上述求next数组的方法。
S a b a b a b c
P a b a b c
S[4] != P[4]
    那么下一个和S[4]匹配的位置是k=2(也即P[next[4]])。此处的k=2也再次佐证了上文第3节开头处关于为了找到下一个匹配的位置时k的求法。上面的主串与模式串开头4个字符都是“abab”,所以,匹配失效后下一个匹配的位置直接跳两步继续进行匹配。
S a b a b a b c
P      a b a b c
匹配成功

P的next数组值分别为-1 0 -1 0 2

    next数组各值怎么求出来的呢?分下面五步:

  1. 初始化:i=0,j=-1,nextval[0] = -1因为j == -1,进入上述循环的if部分,++i得i=1,++j得j=0,且ptrn[i] != ptrn[j](即a!=b)),所以得到第二个next值即nextval[1] = 0;
  2. i=1,j=0,进入循环esle部分,j=nextval[j]=nextval[0]=-1;
  3. 进入循环的if部分,++i,++j,i=2,j=0,因为ptrn[i]=ptrn[j]=a,所以nextval[2]=nextval[0]=-1;
  4. i=2, j=0, 因为ptrn[i]=ptrn[j],再次进入循环if部分,所以++i=3,++j=1,因为ptrn[i]=ptrn[j]=b,所以nextval[3]=nextval[1]=0;
  5. i=3,j=1,因为ptrn[i]=ptrn[j]=b,所以++i=4,++j=2,退出循环。

    这样上例中模式串的next数组各值终于应该为:

KMP算法具体解释_第1张图片

            图4-1 正确的next数组各值
next数组求解的详细步骤例如以下:
    初始化:nextval[0] = -1,我们得到第一个next值即-1.

            图4-2 初始化第一个next值即-1

    i = 0,j = -1,因为j == -1,进入上述循环的if部分,++i得i=1,++j得j=0,且ptrn[i] != ptrn[j](即a!=b)),所以得到第二个next值即nextval[1] = 0;

           图4-3 第二个next值0

   上面我们已经得到,i= 1,j = 0,因为不满足条件j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j],所以进入循环的esle部分,得j = nextval[j] = -1;此时,仍满足循环条件,因为i = 1,j = -1,因为j == -1,再次进入循环的if部分,++i得i=2,++j得j=0,因为ptrn[i] == ptrn[j](即ptrn[2]=ptrn[0],也就是说第1个元素和第三个元素都是a),所以进入循环if部分内嵌的else部分,得到nextval[2] = nextval[0] = -1;

         图4-4 第三个next数组元素值-1

    i = 2,j = 0,因为ptrn[i] == ptrn[j],进入if部分,++i得i=3,++j得j=1,所以ptrn[i] == ptrn[j](ptrn[3]==ptrn[1],也就是说第2个元素和第4个元素都是b),所以进入循环if部分内嵌的else部分,得到nextval[3] = nextval[1] = 0;

         图4-5 第四个数组元素值0
    假设你还是没有弄懂上述过程是怎么一回事,请如今拿出一张纸和一支笔出来,一步一步的画下上述过程。相信我,把图画出来了之后,你一定能明确它的。
    然后,我留一个问题给读者,为什么上述的next数组要那么求?有什么原理么?

    提示:我们从上述字符串abab 各字符的next值-1 0 -1 0,能够看出来,依据求得的next数组值,偷用前缀、后缀的概念,一定能够推断出在abab之中,前缀和后缀同样,即都是ab,反过来,假设一个字符串的前缀和后缀同样,那么依据前缀和后缀依次求得的next各值也是同样的。

  • 5、利用求得的next数组各值运用Kmp算法

    Ok,next数组各值已经求得,万事俱备,东风也不欠了。接下来,咱们就要应用求得的next值,应用KMP算法来匹配字符串了。还记得KMP算法是怎么一回事吗?容我再次引用下之前的KMP算法的代码,例如以下:

  1. //代码5-1    
  2. //int kmp_seach(char const*, int, char const*, int, int const*, int pos)  KMP模式匹配函数    
  3. //输入:src, slen主串    
  4. //输入:patn, plen模式串    
  5. //输入:nextval KMP算法中的next函数值数组    
  6. int kmp_search(char const* src, int slen, char const* patn, int plen, int const* nextval, int pos)    
  7. {    
  8.     int i = pos;    
  9.     int j = 0;    
  10.     while ( i < slen && j < plen )    
  11.     {    
  12.         if( j == -1 || src[i] == patn[j] )    
  13.         {    
  14.             ++i;    
  15.             ++j;    
  16.         }    
  17.         else    
  18.         {    
  19.             j = nextval[j];              
  20.             //当匹配失败的时候直接用p[j_next]与s[i]比較,    
  21.             //以下阐述怎么求这个值,即匹配失效后下一次匹配的位置    
  22.         }    
  23.     }    
  24.     if( j >= plen )    
  25.         return i-plen;    
  26.     else    
  27.         return -1;    
  28. }    

我们上面已经求得的next值,例如以下:

        图5-1 求得的正确的next数组元素各值

    下面是匹配过程,分三步:
    第一步:主串和模式串例如以下,S[3]与P[3]匹配失败。

KMP算法具体解释_第2张图片

               图5-2 第一步,S[3]与P[3]匹配失败
    第二步:S[3]保持不变,P的下一个匹配位置是P[next[3]],而next[3]=0,所以P[next[3]]=P[0],即P[0]与S[3]匹配。在P[0]与S[3]处匹配失败。

KMP算法具体解释_第3张图片

                图5-3 第二步,在P[0]与S[3]处匹配失败

    第三步:与上文中第3小节末的情况一致。因为上述第三步中,P[0]与S[3]还是不匹配。此时i=3,j=nextval[0]=-1,因为满足条件j==-1,所以进入循环的if部分,++i=4,++j=0,即主串指针下移一个位置,从P[0]与S[4]处開始匹配。最后j==plen,跳出循环,输出结果i-plen=4(即字串第一次出现的位置),匹配成功,算法结束。

KMP算法具体解释_第4张图片

                图5-4 第三步,匹配成功,算法结束
    所以,综上,总结上述三步为

  1. 開始匹配,直到P[3]!=S[3],匹配失败;
  2. nextval[3]=0,所以P[0]继续与S[3]匹配,再次匹配失败;
  3. nextval[0]=-1,满足循环if部分条件j==-1,所以,++i,++j,主串指针下移一个位置,从P[0]与S[4]处開始匹配,最后j==plen,跳出循环,输出结果i-plen=4,算法结束。

第三部分、KMP算法的两种实现

代码实现一:   

    依据上文中第二部分内容的解析,完整写出KMP算法的代码已经不是难事了,例如以下:

  1. //copyright@2011 binghu and july  
  2. #include "StdAfx.h"  
  3. #include <string>  
  4. #include <iostream>  
  5. using namespace std;  
  6.   
  7. //代码4-1    
  8. //修正后的求next数组各值的函数代码    
  9. void get_nextval(char const* ptrn, int plen, int* nextval)    
  10. {    
  11.     int i = 0;  //注,此处与下文的代码实现二不同的是,i是从0開始的(代码实现二i从1開始)     
  12.     nextval[i] = -1;    
  13.     int j = -1;    
  14.     while( i < plen-1 )    
  15.     {    
  16.         if( j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j] )   //循环的if部分    
  17.         {    
  18.             ++i;    
  19.             ++j;    
  20.             //修正的地方就发生以下这4行    
  21.             if( ptrn[i] != ptrn[j] ) //++i,++j之后,再次推断ptrn[i]与ptrn[j]的关系    
  22.                 nextval[i] = j;      //之前的错误解法就在于整个推断仅仅有这一句。    
  23.             else    
  24.                 nextval[i] = nextval[j];    
  25.         }    
  26.         else                                 //循环的else部分    
  27.             j = nextval[j];    
  28.     }    
  29. }    
  30.   
  31. void print_progress(char const* src, int src_index, char const* pstr, int pstr_index)  
  32. {  
  33.     cout<<src_index<<"\t"<<src<<endl;  
  34.     cout<<pstr_index<<"\t";  
  35.     forint i = 0; i < src_index-pstr_index; ++i )  
  36.         cout<<" ";  
  37.     cout<<pstr<<endl;  
  38.     cout<<endl;  
  39. }  
  40.   
  41. //代码5-1    
  42. //int kmp_seach(char const*, int, char const*, int, int const*, int pos)  KMP模式匹配函数    
  43. //输入:src, slen主串    
  44. //输入:patn, plen模式串    
  45. //输入:nextval KMP算法中的next函数值数组    
  46. int kmp_search(char const* src, int slen, char const* patn, int plen, int const* nextval, int pos)    
  47. {    
  48.     int i = pos;    
  49.     int j = 0;    
  50.     while ( i < slen && j < plen )    
  51.     {    
  52.         if( j == -1 || src[i] == patn[j] )    
  53.         {    
  54.             ++i;    
  55.             ++j;    
  56.         }    
  57.         else    
  58.         {    
  59.             j = nextval[j];              
  60.             //当匹配失败的时候直接用p[j_next]与s[i]比較,    
  61.             //以下阐述怎么求这个值,即匹配失效后下一次匹配的位置    
  62.         }    
  63.     }    
  64.     if( j >= plen )    
  65.         return i-plen;    
  66.     else    
  67.         return -1;    
  68. }    
  69.   
  70. int   main()  
  71. {  
  72.     std::string src = "aabcabcebafabcabceabcaefabcacdabcab";  
  73.     std::string prn = "abac";  
  74.   
  75.     int* nextval = new int[prn.size()];  
  76.     //int* next = new int[prn.size()];  
  77.     get_nextval(prn.data(), prn.size(), nextval);  
  78.     //get_next(prn.data(), prn.size(), next);  
  79.   
  80.     forint i = 0; i < prn.size(); ++i )  
  81.         cout<<nextval[i]<<"\t";  
  82.     cout<<endl;  
  83.       
  84.     cout<<"result sub str: "<<src.substr( kmp_search(src.data(), src.size(), prn.data(), prn.size(), nextval, 0) )<<endl;  
  85.     system("pause");  
  86.   
  87.     delete[] nextval;  
  88.     return 0;  
  89. }   

    执行结果,例如以下图所看到的:

KMP算法具体解释_第5张图片

代码实现二

     再给出代码实现二之前,让我们再次回想下关于KMP算法的第一篇文章中的部分内容

第二节、KMP算法

2.1、 覆盖函数(overlay_function)

    覆盖函数所表征的是pattern本身的性质,能够让为其表征的是pattern从左開始的全部连续子串的自我覆盖程度。比方例如以下的字串,abaabcaba

KMP算法具体解释_第6张图片

    可能上面的图令读者理解起来还是不那么清晰易懂,事实上非常easy,针对字符串abaabcaba

a(-1) b(-1)a(0) a0 b(1) c(-1) a(0) b(1)a(2)

解释:

  1. 初始化为-1  
  2. b与a不同为-1   
  3. 与第一个字符a同样为0   
  4. 还是a为0   
  5. 后缀ab与前缀ab两个字符同样为1 
  6. 前面并无前缀c为-1  
  7. 与第一个字符同为0  
  8. 后缀ab前缀ab为1 
  9. 前缀aba后缀aba为2

    因为计数是从0始的,因此覆盖函数的值为0说明有1个匹配,对于从0还是从来開始计数是偏好问题,详细请自行调整,当中-1表示没有覆盖,那么何为覆盖呢,以下比較数学的来看一下定义,比方对于序列

  a0a1...aj-1 aj

要找到一个k,使它满足

  a0a1...ak-1ak=aj-kaj-k+1...aj-1aj

    而没有更大的k满足这个条件,就是说要找到尽可能大k,使pattern前k字符与后k字符相匹配,k要尽可能的大,原因是假设有比較大的k存在。

    但若我们选择较小的满足条件的k,那么当失配时,我们就会使pattern向右移动的位置变大,而较少的移动位置是存在匹配的,这样我们就会把可能匹配的结果丢失。比方以下的序列,

KMP算法具体解释_第7张图片

    在红色部分失配,正确的结果是k=1的情况,把pattern右移4位,假设选择k=0,右移5位则会产生错误。计算这个overlay函数的方法能够採用递推,能够想象假设对于pattern的前j个字符,假设覆盖函数值为k

    a0a1...ak-1ak=aj-kaj-k+1...aj-1aj
则对于pattern的前j+1序列字符,则有例如以下可能
    ⑴     pattern[k+1]==pattern[j+1] 此时overlay(j+1)=k+1=overlay(j)+1
    ⑵     pattern[k+1]≠pattern[j+1] 此时仅仅能在pattern前k+1个子符组所的子串中找到对应的overlay函数,h=overlay(k),假设此时pattern[h+1]==pattern[j+1],则overlay(j+1)=h+1否则反复(2)过程.

以下给出一段计算覆盖函数的代码:

  1. //copyright@ staurman  
  2. //updated@2011 July  
  3. #include "StdAfx.h"  
  4. #include<iostream>  
  5. #include<string>  
  6. using namespace std;  
  7.   
  8. //solve to the next array  
  9. void compute_overlay(const string& pattern)  
  10. {  
  11.     const int pattern_length = pattern.size();  
  12.     int *overlay_function = new int[pattern_length];  
  13.     int index;  
  14.     overlay_function[0] = -1;  
  15.     for(int i=1;i<pattern_length;++i)      
  16.         //注,与上文代码段一不同的是,此处i是从1開始的,所以,下文中运用俩种方法求出来的next数组各值会有所不同  
  17.     {  
  18.         index = overlay_function[i-1];  
  19.         //store previous fail position k to index;  
  20.   
  21.         while(index>=0 && pattern[i]!=pattern[index+1])  
  22.         {  
  23.             index = overlay_function[index];  
  24.         }  
  25.         if(pattern[i]==pattern[index+1])  
  26.         {  
  27.             overlay_function[i] = index + 1;    
  28.         }  
  29.         else  
  30.         {  
  31.             overlay_function[i] = -1;  
  32.         }  
  33.     }  
  34.     for(int i=0;i<pattern_length;++i)  
  35.     {  
  36.         cout<<overlay_function[i]<<endl;  
  37.     }  
  38.     delete[] overlay_function;  
  39. }  
  40.   
  41. //abaabcaba  
  42. int main()  
  43. {  
  44.     string pattern = "abaabcaba";  
  45.     compute_overlay(pattern);  
  46.     system("pause");  
  47.     return 0;  
  48. }  

    执行结果例如以下所看到的:

KMP算法具体解释_第8张图片

2.2、kmp算法
     有了覆盖函数,那么实现kmp算法就是非常easy的了,我们的原则还是从左向右匹配,可是当失配发生时,我们不用把target_index向回移动,target_index前面已经匹配过的部分在pattern自身就能体现出来,仅仅要动pattern_index就能够了。

当发生在j长度失配时,仅仅要把pattern向右移动j-overlay(j)长度就能够了。

     假设失配时pattern_index==0,相当于pattern第一个字符就不匹配,这时就应该把target_index加1,向右移动1位就能够了。

    ok,下图就是KMP算法的过程(红色即是採用KMP算法的运行过程):

KMP算法具体解释_第9张图片

    (还有一作者saturnman发现,在上述KMP匹配过程图中,index=8和index=11处画错了。还有,anaven也早已发现,index=3处也画错了。很感谢。但图已无法改动,见谅)

KMP 算法可在O(n+m)时间内完毕所有的串的模式匹配工作。

    OK,以下此前写的关于KMP算法的第一篇文章中的源代码:

  1. //copyright@ saturnman  
  2. //updated@ 2011 July  
  3. #include "stdafx.h"  
  4. #include<iostream>  
  5. #include<string>  
  6. #include <vector>  
  7. using namespace std;  
  8.   
  9. int kmp_find(const string& target,const string& pattern)  
  10. {  
  11.     const int target_length=target.size();  
  12.     const int pattern_length=pattern.size();  
  13.     int* overlay_value=new int[pattern_length];  
  14.     overlay_value[0]=-1;        //remember:next array's first number was -1.  
  15.     int index=0;  
  16.   
  17.     //next array  
  18.     for (int i=1;i<pattern_length;++i)  
  19.         //注,此处的i是从1開始的  
  20.     {  
  21.         index=overlay_value[i-1];  
  22.         while (index>=0 && pattern[index+1]!=pattern[i])  //remember:!=  
  23.         {  
  24.             index=overlay_value[index];  
  25.         }  
  26.         if(pattern[index+1] == pattern[i])  
  27.         {  
  28.             overlay_value[i]=index+1;  
  29.         }  
  30.         else  
  31.         {  
  32.             overlay_value[i]=-1;  
  33.         }  
  34.     }  
  35.   
  36.     //mach algorithm start  
  37.     int pattern_index=0;  
  38.     int target_index=0;  
  39.     while (pattern_index<pattern_length && target_index<target_length)  
  40.     {  
  41.         if (target[target_index] == pattern[pattern_index])  
  42.         {  
  43.             ++target_index;  
  44.             ++pattern_index;  
  45.         }   
  46.         else if(pattern_index==0)  
  47.         {  
  48.             ++target_index;  
  49.         }  
  50.         else  
  51.         {  
  52.             pattern_index=overlay_value[pattern_index-1]+1;  
  53.         }  
  54.     }  
  55.     if (pattern_index==pattern_length)  
  56.     {  
  57.         return target_index-pattern_index;  
  58.     }   
  59.     else  
  60.     {  
  61.         return -1;  
  62.     }  
  63.     delete [] overlay_value;  
  64. }  
  65.   
  66. int main()  
  67. {  
  68.     string sourc="ababc";  
  69.     string pattern="abc";  
  70.     cout<<kmp_find(sourc,pattern)<<endl;  
  71.     system("pause");  
  72.     return 0;  
  73. }  

    因为是abc跟ababc匹配,那么将返回匹配的位置“2”,执行结果如所看到的:

KMP算法具体解释_第10张图片

第四部分、測试

    针对上文中第三部分的两段代码測试了下,纠结了,两种求next数组的方法对同一个字符串求next数组各值,得到的结果居然不一样,例如以下二图所看到的:

    1、两种方法对字符串abab求next数组各值比較:KMP算法具体解释_第11张图片

    2、两种对字符串abaabcaba求next数组各值比較:KMP算法具体解释_第12张图片

    为何会这样呢,事实上非常easy,上文中已经有所说明了,代码实现一的i 是从0開始的,代码实现二的i 是从1開始的。但从终于的执行结果来看,临时还是以代码实现段二为准。

第五部分、KMP完整准确源代码

    求next数组各值的方法为:

  1. //copyright@ staurman  
  2. //updated@2011 July  
  3. #include "StdAfx.h"  
  4. #include<iostream>  
  5. #include<string>  
  6. using namespace std;  
  7.   
  8. //solve to the next array  
  9. void compute_overlay(const string& pattern)  
  10. {  
  11.     const int pattern_length = pattern.size();  
  12.     int *overlay_function = new int[pattern_length];  
  13.     int index;  
  14.     overlay_function[0] = -1;  
  15.     for(int i=1;i<pattern_length;++i)  
  16.     {  
  17.         index = overlay_function[i-1];  
  18.         //store previous fail position k to index;  
  19.   
  20.         while(index>=0 && pattern[i]!=pattern[index+1])  
  21.         {  
  22.             index = overlay_function[index];  
  23.         }  
  24.         if(pattern[i]==pattern[index+1])  
  25.         {  
  26.             overlay_function[i] = index + 1;    
  27.         }  
  28.         else  
  29.         {  
  30.             overlay_function[i] = -1;  
  31.         }  
  32.     }  
  33.     for(int i=0;i<pattern_length;++i)  
  34.     {  
  35.         cout<<overlay_function[i]<<endl;  
  36.     }  
  37.     delete[] overlay_function;  
  38. }  
  39.   
  40. //abaabcaba  
  41. int main()  
  42. {  
  43.     string pattern = "abaabcaba";  
  44.     compute_overlay(pattern);  
  45.     system("pause");  
  46.     return 0;  
  47. }  

    执行结果入下图所看到的:abab的next数组各值是-1,-1,0,1,而非本文第二部分所述的-1,0,-1,0。为什么呢?难道是搬石头砸了自己的脚?

    NO,上文第四部分末已经具体说明,上处代码i 从0開始,本文第二部分代码i 从1開始。

KMP算法具体解释_第13张图片

    KMP算法完整源代码,例如以下:

  1. //copyright@ saturnman  
  2. //updated@ 2011 July  
  3. #include "stdafx.h"  
  4. #include<iostream>  
  5. #include<string>  
  6. #include <vector>  
  7. using namespace std;  
  8.   
  9. int kmp_find(const string& target,const string& pattern)  
  10. {  
  11.     const int target_length=target.size();  
  12.     const int pattern_length=pattern.size();  
  13.     int* overlay_value=new int[pattern_length];  
  14.     overlay_value[0]=-1;        //remember:next array's first number was -1.  
  15.     int index=0;  
  16.   
  17.     //next array  
  18.     for (int i=1;i<pattern_length;++i)  
  19.         //注,此处的i是从1開始的  
  20.     {  
  21.         index=overlay_value[i-1];  
  22.         while (index>=0 && pattern[index+1]!=pattern[i])    
  23.         {  
  24.             index=overlay_value[index];  
  25.         }  
  26.         if(pattern[index+1] == pattern[i])  
  27.         {  
  28.             overlay_value[i]=index+1;  
  29.         }  
  30.         else  
  31.         {  
  32.             overlay_value[i]=-1;  
  33.         }  
  34.     }  
  35.   
  36.     //mach algorithm start  
  37.     int pattern_index=0;  
  38.     int target_index=0;  
  39.     while (pattern_index<pattern_length && target_index<target_length)  
  40.     {  
  41.         if (target[target_index] == pattern[pattern_index])  
  42.         {  
  43.             ++target_index;  
  44.             ++pattern_index;  
  45.         }   
  46.         else if(pattern_index==0)  
  47.         {  
  48.             ++target_index;  
  49.         }  
  50.         else  
  51.         {  
  52.             pattern_index=overlay_value[pattern_index-1]+1;  
  53.         }  
  54.     }  
  55.     if (pattern_index==pattern_length)  
  56.     {  
  57.         return target_index-pattern_index;  
  58.     }   
  59.     else  
  60.     {  
  61.         return -1;  
  62.     }  
  63.     delete [] overlay_value;  
  64. }  
  65.   
  66. int main()  
  67. {  
  68.     string sourc="ababc";  
  69.     string pattern="abc";  
  70.     cout<<kmp_find(sourc,pattern)<<endl;  
  71.     system("pause");  
  72.     return 0;  
  73. }  

    执行结果例如以下:

KMP算法具体解释_第14张图片

第六部分、一眼看出字符串的next数组各值

    上文已经用程序求出了一个字符串的next数组各值,接下来,稍稍演示下,怎样一眼大致推断出next数组各值,以及初步推断某个程序求出的next数组各值是不是正确的。有一点务必注意:下文中的代码所有採代替码实现二,即i是从1開始的

  • 1、对字符串aba求next数组各值,各位能够先猜猜,-1,...,aba中,a初始化为-1,第二个字符b与a不同也为-1,最后一个字符和第一个字符都是a,所以,我猜其next数组各值应该是-1,-1,0,结果也不出所料,例如以下图所看到的:

KMP算法具体解释_第15张图片

  • 2、字符串“abab”呢,不用猜了,我已经看出来了,当然上文中代码实现一和代码实现二都已经求出来了。假设i 是1開始的话,那么next数组各值将如代码实现二所执行的那样,将是:-1,-1,0,1;
  • 3、字符串“abaabcaba”呢,next数组如上第三部分代码实现二所述,为-1,-1,0,0,1,-1,0,1,2;
  • 4、字符串“abcdab”呢,next数组各值将是-1,-1,-1,-1,0,1;
  • 5、字符串“abcdabc”呢,next数组各值将是-1,-1,-1,-1,0,1,2;
  • 6、字符串“abcdabcd”呢,那么next数组各值将是-1,-1,-1,-1,0,1,2,3;

KMP算法具体解释_第16张图片

    怎么样,看出规律来了没?呵呵,能够用上述第五部分中求next数组的方法自个多试探几次,相信,非常快,你也会跟我一样,不用计算,一眼便能看出某个字符串的next数组各值了。如此便恭喜你,理解了next数组的求法,KMP算法也就算是真真正正彻彻底底的理解了。完。

相关链接

  1. KMP之第二篇文章:六(续)、从KMP算法一步一步谈到BM算法
  2. KMP之第一篇文章:六、教你初步了解KMP算法、updated

后记 

     相信,看过此文后,不管是谁,都一定能够把KMP算法搞懂了(但万一还是有读者没有搞懂,那怎么办呢?还有最后一个办法:把 本文打印下来,再细致琢磨。假设是真真正正想彻底弄懂某一个东西,那么必须付出些代价。但万一要是打印下来了却还是没有弄懂呢?那来北京找我吧,我手把手教你。祝好运)。
    在结束全文之前,谈两点感悟:
  1. 语言->数据结构->算法:语言是基础,够啃一辈子,主要的常见的数据结构得了如指掌,最后才是算法。除了算法之外,有很多其它更重要且更值得学习的东西(最重要的是,学习怎样编程)。切勿盲目跟风,找准自己的兴趣点,和领域才是关键。这跟选择职位、与领域并持久做下去,比选择公司更重要一样。选择学什么东西不重要,重要的是你的兴趣。
  2. 修订这篇文章之时,个人接触KMP都有一年了,学算法也刚好快一年。想想阿,我弄一个KMP,弄了近一年了,到今天才算是真正彻底理解其思想,可想而知,当初创造这个算法的k、m、p三人是何等不易。我想,有不少读者是由于我的出现而想学算法的,但不可急功近利,切勿妄想算法速成。早已说过,学算法先修心。
     OK,文中有关不论什么问题或错误,烦请指教与指正。谢谢,完。
    July、二零一一年十二月五日中午。

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