离散数学复习：命题逻辑
命题逻辑
1.命题的概念
1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是命题，因而命题是基本的推理单元。
定义：
具有确切真值的陈述句称为命题（proposition）。该命题只可以取一个“值”，称为真值。真值只有“真”和“假”两种，分别用**“T”（或“1”）和“F”（或“0“）**表示。
- 一切没有判断内容的句子都不是命题
有时需要依靠环境、条件、时间、地点判断命题的真值，而一个句子本身是否能够分辨真假与我们是否知道他的真假是两回事，也就是说，对于一个句子，有时我们可能无法判断他的真假，但这个句子本身是有真假的。
1.2 原子命题与复合命题
1.2.1 概念
原子命题(简单命题) :不能再分解为更为简单命题的命题。
复合命题:可以分解为更为简单命题的命题。这些简单命题之间是通过如"或者"、“并且”、"不”、"如果则…“， “当且仅当"等这样的关联词和标点符号复合而成。
1.2.2 表示法
通常使用大写的带或者不带下标的英文字母表示命题（包括原子命题和复合命题）
1.3 命题连接词
主要的命题连接词有5个：
- 或者
- 并且
- 不
- 如果……则……
- 当且仅当
1.3.1 否定连接词
定义：设P是任意一个命题，复合命题"非P"(或“P的否定”)称为P的否定式(negation) ，记作 ⌝ P \urcorner P ┐P ，“ ⌝ \urcorner ┐”为否定联结词。P为真当且仅当 ⌝ \urcorner ┐ P为假。
1.3.2 合取连接词
定义：设P、Q是任意两个命题,复合命题"P并且Q"(或"P和Q")称为P与Q的合取式(conjunction) ,记作 P ∧ Q P\land Q P∧Q,“A"为合取联结词。 P ∧ Q P\land Q P∧Q为真当且仅当P, Q同为真。
1.3.3 析取连接词
设P、Q是任意两个命题，复合命题“P或Q”称为P与Q的析取式(disjunction) ,记作 P ∨ Q P\vee Q P∨Q, “V"为析取联结词。 P ∨ Q P\vee Q P∨Q为真当且仅当P, Q至少有一个为真。
代表的是自然语言中的“可兼或”，“不可兼或”是异或。
1.3.4 蕴含连接词
设P、Q是任两个命题,复合命题“如果P，则Q”称为P与Q的蕴涵式(implication) ，记作P→Q,“→"为蕴涵联结词。P→Q为假当且仅当P为真且Q为假。一般把蕴涵式P→Q中的P称为该蕴涵式的前件, Q称为蕴涵式的后件。
前件为假，那么不管后件真假如何，命题为真。
在自然语言中，前件为假，不管结论真假，整个语句的意义,往往无法判断。但对于数理逻辑中的蕴涵联结词来说,当前件P为假时,不管Q的真假如何，则P→Q都为真。此时称为**“善意推定”**。
1.3.5 等价连接词
设P、Q是任两个命题,复合命题"P当且仅当Q"称为P与Q的等价式(equivalence) ,记作“ P ↔ Q P\leftrightarrow Q P↔Q“，"$\leftrightarrow " 为等价联结词 ( 也称作双条件联结词 ) 。 "为等价联结词(也称作双条件联结词)。 "为等价联结词(也称作双条件联结词)。P\leftrightarrow Q$为真当且仅当P、Q同为真假。
2. 命题符号化及其应用
联结词是两个命题真值之间的联结，而不是命题内容之间的连接，因此复合命题的真值只取决于构成他们的各简单命题的真值，而与它们的内容无关，与二者之间是否有关系无关。
Example：
- 命题1 ：雪是白的当且仅当北京是中国的首都。 真命题
- 命题2：如果2是偶数,则天上就可以掉馅饼。 假命题
2.1 连接词的优先级
所有五个连接词的优先顺序为：
-
否定 > 合取 > 析取 > 蕴含 > 等价
-
同级的连接词，按其出现的顺序（从左往右）
-
若运算要求与优先次序不一样，可以使用括号；同级连接词相邻时也可以使用括号
-
括号中的优先级为最高优先级
2.2 命题的符号化
3. 命题公式和真值表
3.1 命题变元
定义：一个特定的命题是一个常值命题 ，它不是具有值“T"(“1”) ，就是具有值“F"(“0")。
定义：一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命题，常称它为命题变量(或命题变元)(propositional variable)，该命题变量无具体的真值,它的变域是集合{T, F}(或{0, 1})。
复合命题是由原子命题与联结词构成的命题。所以，当其中的原子命题是命题变元时，此复合命题也即为命题变元的函数，且该函数的值仍为“真”或"假”值，这样的函数可形象地称为“真值函数”或“命题公式”，此命题公式没有确切的真值。
G = P ∨ Q → ⌝ P G=P\vee Q\rightarrow \urcorner P G=P∨Q→┐P
3.2 命题公式
3.2.1 命题公式的概念
命题演算的合式公式又称为命题公式（简称公式），按如下规则生成：
- 命题变元本身是一个公式（如：P，Q，R）
- 如果G是公式，那么 ⌝ G \urcorner G ┐G也是公式
- 如果G, H是公式，那么 G ∨ H , G ∧ H , G → H , G ↔ H G\vee H, G\land H,G\rightarrow H,G\leftrightarrow H G∨H,G∧H,G→H,G↔H也是公式
仅由有限步使用规则（1）（2）（3）得到的包含命题变元、连接词和括号的符号串才是命题公式。
note：
原子命题变元是最简单的合式公式，称为原子合式公式，简称原子公式
命题公式没有真值，只有对其命题变元进行真值指派后,方可确定命题公式的真值;
整个公式的最外层括号可以省略；公式中不影响运算次序的括号也可以省略。
在实际应用中，为了便于存储和运算，命题公式常用二元树的方式来表达。
3.2.2 公式的解释
定义：设 P 1 、 P 2 、 P 3 、 . . . P n P_1、P_2、P_3、 ... P_n P1、P2、P3、...Pn是出现在公式G中的所有命题变元，指定 P 1 、 P 2 、 P 3 、 . . . . P n P_1、 P_2、P_3、 .... P_n P1、P2、P3、....Pn一组真值，则这组真值称为G的一个解释，常记为 I I I。
如果公式在I下的解释是真的，则称I满足G，此时I是G的成真赋值；如果G在解释I下是假的，则称I弄假G，此时I是G的弄假赋值。
3.2.3 真值表
由公式G在其所有的解释下所取的真值构成的表，称为G的真值表。
3.3 命题公式分类和等价
3.3.1 命题公式的分类
定义：
- 如果一个公式G在所有解释下的真值都为“真”，公式G为永真公式（重言式）
- 如果一个公式G在所有解释下的真值都为“假”，公式G为永假公式（矛盾式），有时也称不可满足式
- 如果一个公式不是永假的，那么他是可满足式
三种公式直接的关系：
- G是永真的，当且仅当 ⌝ G \urcorner G ┐G是永假的
- G是可满足的，当且仅当至少有一个解释 I I I，使G在 I I I下为真
- 若G是永真式，则G一定是可满足式，但反之可满足公式不一定是永真式
3.3.2 公式的等价
定义：设G, H是两个命题公式 P 1 , P 2 , P 3 , . . . , P n P_1, P_2, P_3, ... , P_n P1,P2,P3,...,Pn.是出现在G, H中所有的命题变元，如果对于 P 1 , P 2 , P 3 , . . . , P n P_1,P_2,P_3,...,P_n P1,P2,P3,...,Pn的 2 n 2^n 2n个解释，G与H的真值结果都相同，则称公式G与H是等价的，记作G = H。( 或G ⇔ \Leftrightarrow ⇔H)
定理：对于任意两个公式G和H，G = H的充分必要条件是公式 G ↔ H G\leftrightarrow H G↔H是永真公式。
3.3.3 命题公式的可判定性
可判定性：能否给出一个可行方法，完成对任意公式的判定类问题。（类型或等价判定）
命题公式是可判定的。——使用真值表/公式推理的方法判定公示
3.4 基本等价关系及其应用
3.4.1 基本等价关系
设 G , H , S G, H, S G,H,S 为任意的命题公式。
(1) E 1 : G ∨ G = G E_{1}: G \vee G=G E1:G∨G=G;
E 2 : G ∧ G = G E_{2}: G \wedge G=G E2:G∧G=G. 幂等律
(2) E 3 : G ∨ H = H ∨ G E_{3}: G \vee H=H \vee G E3:G∨H=H∨G;
E 4 : G ∧ H = H ∧ G E_{4}: G \wedge H=H \wedge G E4:G∧H=H∧G. 交换律
(3) E 5 : G ∨ ( H ∨ S ) = ( G ∨ H ) ∨ S E_{5}: G \vee(H \vee S)=(G \vee H) \vee S E5:G∨(H∨S)=(G∨H)∨S;
E 6 : G ∧ ( H ∧ S ) = ( G ∧ H ) ∧ S E_{6}: G \wedge(H \wedge S)=(G \wedge H) \wedge S E6:G∧(H∧S)=(G∧H)∧S. 结合律
(4) E 7 : G ∨ 0 = G E_{7}: G \vee 0=G E7:G∨0=G;
E 8 : G ∧ 1 = G E_{8}: G \wedge 1=G E8:G∧1=G. 同一律
(5) E 9 : G ∨ 1 = 1 E_{9}: G \vee 1=1 E9:G∨1=1;
E 10 : G ∧ 0 = 0 E_{10}: G \wedge 0=0 E10:G∧0=0. 零律
(0) E 11 : G ∨ ( H ∧ S ) = ( G ∨ H ) ∧ ( G ∨ S ) E_{11}: G \vee(H \wedge S)=(G \vee H) \wedge(G \vee S) E11:G∨(H∧S)=(G∨H)∧(G∨S);
E 12 : G ∧ ( H ∨ S ) = ( G ∧ H ) ∨ ( G ∧ S ) E_{12}: G \wedge(H \vee S)=(G \wedge H) \vee(G \wedge S) E12:G∧(H∨S)=(G∧H)∨(G∧S). 分配律
(1) E 13 : G ∨ ( G ∧ H ) = G E_{13}: G \vee(G \wedge H)=G E13:G∨(G∧H)=G
E 14 : G ∧ ( G ∨ H ) = G E_{14}: G \wedge(G \vee H)=G E14:G∧(G∨H)=G. 吸收律
(8) E 15 : ¬ G ∧ G = 0 E_{15}: \neg G \wedge G=0 E15:¬G∧G=0. 矛盾律
(9) E 16 : ¬ G ∨ G = 1 E_{16}: \neg G \vee G=1 E16:¬G∨G=1. 排中律
(10) E 17 : ¬ ( − G ) = G E_{17}: \neg(-G)=G E17:¬(−G)=G. 双重否定律
3.4.2 基本等价关系的应用
Example：
4. 范式
4.1 范式的概念
真值表能够方便地给出命题公式的真值情况，但是真值表的规模随着命题变元的数量呈指数型增长，因而我们考虑一种真值表的替代方法，这种方法是基于命题公式的一种标准形式。
4.1.1 简单析取式与简单合取式
定义：
- 命题变元或者是命题变元的否定称为文字
- 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式（或子句）
- 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式（或短语）
note：有限个包括一个，文字既是子句也是短语
- P与 ⌝ P \urcorner P ┐P是互补对
4.1.2 析取范式和合取范式
定义：
有限个简单合取式（短语）的析取式称为析取范式
如 ( P ∧ Q ) ∨ ( ⌝ P ∧ Q ) ，又如 P ∨ ⌝ Q , P , ⌝ Q 如(P\land Q)\vee (\urcorner P\land Q)，又如P\vee \urcorner Q, P,\urcorner Q 如(P∧Q)∨(┐P∧Q)，又如P∨┐Q,P,┐Q
有限个简单析取式（子句）的合取式称为合取范式
如 ( P ∨ Q ) ∧ ( ⌝ P ∨ Q ) ，又如 P ∧ ⌝ Q , P , ⌝ Q 如(P\vee Q)\land (\urcorner P\vee Q)，又如P\land \urcorner Q, P,\urcorner Q 如(P∨Q)∧(┐P∨Q)，又如P∧┐Q,P,┐Q
总结
- 范式关注的是命题公式的当前书写形式；
- 单个的文字是子句、短语、析取范式，合取范式；
- 析取范式、合取范式仅含联结词集{ ⌝ ∧ ∨ \urcorner \land \vee ┐∧∨} ,且否定联接词仅出现在命题变元之前。
范式存在定理：
对于任意命题公式，都存在与其等价的合取范式和析取范式。
Proof：
可以由逻辑等价公式求出等价它的析取范式和合取范式，具体步骤如下：
总结：
命题公式的析取范式可以指出公式何时为真，而合取范式可以指出公式何时为假，从而能够代替真值表。
命题公式的范式表达并不唯一，比如对公式 ( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ R ) (P\vee Q)\land (P\vee R) (P∨Q)∧(P∨R)而言，对应的析取范式有很多
最后：
一般求解范式的时候，最后要进行化简的过程。
4.2 主范式
引入主范式：
由于范式的不唯一性，我们考虑对构成范式的子句或短语进一步规范化 ,从而形成**唯一的主析取范式和主合取范式**。
4.2.1 极小项和极大项
4.2.1.1 定义
在含有n个命题变元 P 1 , P 2 , . . . , P n P_1,P_2,...,P_n P1,P2,...,Pn的短语或者子句中，若每个命题变元与其否定不同时存在，但二者之一恰好出现一次且仅一次，并且出现次序与 P 1 , P 2 , . . . , P n P_1,P_2,...,P_n P1,P2,...,Pn一致，则称此短语为关于 P 1 , P 2 , . . . , P n P_1,P_2,...,P_n P1,P2,...,Pn的一个极小项或者极大项。
一般来说，若有n个命题变元，则应有 2 n 2^n 2n个不同的极小项和 2 n 2^n 2n个不同的极大项
4.2.1.2 性质
- m i ∧ m j = 0 ; M i ∨ M j = 1 ( i ≠ j ) m_i\land m_j=0;M_i\vee M_j=1(i\neq j) mi∧mj=0;Mi∨Mj=1(i=j)
- m i = ⌝ M i ; M i = ⌝ m i m_i = \urcorner M_i; M_i=\urcorner m_i mi=┐Mi;Mi=┐mi
- ∨ i = 0 2 n − 1 m i = 1 ; ∧ i = 0 2 n − 1 M i = 0 \vee_{i=0}^{2^n-1}m_i=1;\land_{i=0}^{2^n-1}M_i=0 ∨i=02n−1mi=1;∧i=02n−1Mi=0
4.2.2 主析取范式和主合取范式
定义：
- 在给定的析取范式中，若每一个短语都是极小项，且按照编码从小到大的顺序排列，则称该范式为主析取范式(principal disjunctive normal form)。
- 在给定的合取范式中，若每一个子句都是极大项，且按照编码从小到大的顺序排列，则称该范式为主合取范式(principal conjunctive normal form)。
- 如果一个主析取范式不包含任何极小项,则称该主析取范式为“空”；如果一个主合取范式不包含任何极大项,则称主合取范式为“空"。
公理：
任何一个公式都有与其等价的主析取范式和主合取范式。
Proof：
-
求出公式的析取范式和合取范式
-
消去重复出现的变元，矛盾式与重言式
-
若析取（合取）式的某一个短语（子句） B i B_i Bi中缺少命题变元P，则可用下面的方法将命题变元P补进去
-
利用幂等律将重复的极小项和极大项合并，并利用交换律进行顺序调整，由此可转换成标准的主析取范式和主合取范式。
4.2.3 范式的求解
- 求解方法1：公式转换法
- 求解方法2：真值表法
利用真值表技术求主析取范式和主合取范式的简要方法:
- 列出真值表，选出公式的真值结果为真的所有的行，在这样的每一行中，找到其每一个解释所对应的极小项，将这些极小项进行析取即可得到相应的主析取范式。
- 列出真值表，选出公式的真值结果为假的所有的行，在这样的每一行中，找到其每一个解释所对应的极大项，将这些极大项进行合取即可得到相应的主合取范式。
从真值表按所给的算法求出主范式的方法,称为真值表技术(technique of truth table)。
由真值表技术可知，对于任一个命题公式而言，主析取范式所使用的极小项的编码和主合取范式所使用的极大项的编码是“互补”的关系。从而我们在求主析取范式和主合取范式时，可根据公式特点，先求出二者之一，然后可直接写出另一 个。
4.2.4 范式的应用
主范式可以用于了解公式的真值情况，进行公式类型的判定和等价关系的判定。
- 如果主析取范式中包含所有的极小项，那么该公式为永真公式
- 如果主合取范式中包含所有的极大项，那么该公式为用假公式
- 如果两个公式有相同的主析取范式或者主合取范式时，那么两个公式等价
5. 联结词的完备集
5.1 真值函数
定义：称 F : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } F:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\} F:{0,1}n→{0,1}为n元真值函数
F的定义域： { 0 , 1 } n = { 00...0 , 00...1 , . . . , 11...1 } \{0,1\}^n=\{00...0,00...1,...,11...1\} {0,1}n={00...0,00...1,...,11...1}，即由0，1组成的长为n的符号串的全体，值域为 { 0 , 1 } \{0,1\} {0,1}。n个命题变项可以构成 2 2 n 2^{2^n} 22n个不同的真值函数。
- 1的真值函数有4个
- 2的真值函数有16个
- 3的真值函数有 2 2 3 = 256 2^{2^3}=256 223=256个
每个真值函数与唯一的主析取范式（主合取范式）等值。例如 F 0 ( 2 ) ⇔ 0 F_0^{(2)}\Leftrightarrow 0 F0(2)⇔0(矛盾式)， F 1 ( 2 ) ⇔ ( p ∧ q ) ⇔ m 3 … … F_1^{(2)}\Leftrightarrow (p \land q) \Leftrightarrow m_3…… F1(2)⇔(p∧q)⇔m3……，等。每个主析取范式对应无穷多个等值的命题公式，每一个命题公式又有唯一等值的主析取范式，所以每个真值函数对应无穷多个等值的命题公式，每个命题公式又对应唯一的等值的真值函数。
5.2 联结词的完备集
定义： 设S是一个联结词集合，如果任何 n ( ≥ 1 ) n(\geq 1) n(≥1)元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公示表示，那么则称S是联结词的完备集。
定理： S = { ⌝ , ∨ , ∧ } S=\{\urcorner, \vee, \land\} S={┐,∨,∧}是连接词完备集
推论：以下的联结词都是联结词完备集
(1) S 1 = { ¬ , ∧ , ∨ , → } S_{1}=\{\neg, \wedge, \vee, \rightarrow\} S1={¬,∧,∨,→}
(2) S 2 = { ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ } S_{2}=\{\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow\} S2={¬,∧,∨,→,↔}
(3) S 3 = { ¬ , ∧ } S_{3}=\{\neg, \wedge\} S3={¬,∧}
(4) S 4 = { ¬ , ∧ } S_{4}=\{\neg, \land\} S4={¬,∧}
(5) S 5 = { ¬ , → } S_{5}=\{\neg, \rightarrow\} S5={¬,→}
5.3 与非与或非
设p, q是两个命题，复合命题“p与q的否定”称为p, q的与非式，记做 p ↑ q p\uparrow q p↑q，即 p ↑ q ⇔ ¬ ( p ∧ q ) p\uparrow q \Leftrightarrow \neg(p \land q) p↑q⇔¬(p∧q)，符号$\uparrow $称为与非连接词。
设p, q是两个命题，复合命题“p或q的否定”称为p, q的或非式，记做 p ↓ q p\downarrow q p↓q，即 p ↓ q ⇔ ¬ ( p ∨ q ) p\downarrow q \Leftrightarrow \neg(p \vee q) p↓q⇔¬(p∨q)，符号$\uparrow $称为与非连接词。
定理： { ↑ } 和 { ↓ } \{\uparrow \}和\{\downarrow\} {↑}和{↓}都是联结词完备集