二分图最大匹配及最大权匹配

一位大佬的神级解释

本以为有了网络流，就不用再学匈牙利了，但在做题的过程中，发现有些题不能用网络流做，而只能用匈牙利做。迫不得已，只能来学匈牙利了。

一.二分图的基本知识

1.定义

• G=(V, E)是一个无向图，若能将V分割成两个互不相关的点集X，Y，且图中每条边连接的两个顶点一个在 X中，另一个在 Y中，则称图G为二分图。

2.性质与判定

• 定理：当且仅当无向图G的每一个环的结点数均是偶数时，图G才是一个二分图。如果无环，相当于每的结点数为 0，故也视为二分图。

判定方法：dfs23染色法

• 过程：我们把X部的结点颜色设为2，Y部的颜色设为3。
• 从某个未染色的结点u开始跑dfs。把u染为0，枚举u的儿子v。如果v未染色，就染为与u相反的颜色，如果已染色，则判断u与v的颜色是否相同，相同则不是二分图。
• 如果一个图不连通，则在每个连通块中作判定。

代码如下：（链式前向星存图）

#include
using namespace std;
const int N=1e3+10;
const int M=N*N*2;
struct ppp{
	int u,v,next;
}e[M];
int vex[N],vis[N],k,flag=1;

void add(int u,int v){
	k++;
	e[k].u=u;
	e[k].v=v;
	e[k].next=vex[u];
	vex[u]=k;
}
void dfs(int u){
	for(int i=vex[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].v;
		if(vis[v]==0){
			vis[v]=vis[u]^1;
			dfs(v);
		}
		else if(vis[v]==vis[u]){
			flag=0;
		}
	}
}
int main(){
	int n,m,u,v;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>u>>v;
		add(u,v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			vis[i]=2; 
			dfs(i);
		}
	} 
	return 0;
} 

二.二分图最大匹配

什么是二分图最大匹配

• 定义二分图两部分的点分别称为左部点和右部点。
• 一张图的匹配是一些没有公共端点的边，最大匹配即没有公共端点的边的边数。
• 可以想象，对于一个二分图而言，显然一个匹配是对于每一个左部点，连一条边向一个右部点，或者不向右部点连边。但是每个左部点不会对应两个或以上的右部点。

怎么求二分图最大匹配

方法1：匈牙利算法

• 枚举每一个左部点u ，然后枚举该左部点连出的边，对于一个出点v，如果它没有被先前的左部点匹配，那么直接将u 匹配v，否则尝试让v的“原配”左部点去匹配其他右部点，如果“原配”匹配到了其他点，那么将u 匹配v，否则u 失配。
• 尝试让“原配”寻找其他匹配的过程可以递归进行。需要注意的是，在一轮递归中，每个右部点只能被访问一次。
• 个人理解匈牙利算法：判断是否能匹配第 i 个人，是在之前的所有匹配成功的左部点不会匹配不到人的前提下，尝试能不能让第 i 个点匹配到人。
• 时间复杂度：O(nm)

代码实现如下

#include 
using namespace std;
const int N=1005;
struct ppp{
	int u,v,next;
}e[N*N]; 
int n1,n2,m;
int cp[N],vis[N],vex[N],k;

void add(int u,int v) {
	k++;
	e[k].u=u;
	e[k].v=v;
	e[k].next=vex[u];
	vex[u]=k;
}

int dfs(int u,int tag) {//tag为时间戳，保证每次dfs点不重复经过 
    if(vis[u]==tag)return 0; 
	vis[u]=tag;
	for(int i=vex[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].v;
		if(!cp[v]||dfs(cp[v],tag)){
			//如果喜欢的人单身，直接在一起
			//如果喜欢的人有对象，让他对象再找一个对象；
			//1.如果找得到，喜欢的人的对象换掉，喜欢的人成为自己的对象
			//2.如果找不到，这个喜欢的人就没机会了(找下一个喜欢的人) 
			cp[v]=u;
			return 1;
		}
	}
	return 0;
}

int main() {
	int u,v;
	cin>>n1>>n2>>m;
	for (int i=1;i<=m;i++) {
		cin>>u>>v;
		add(u,v);
	}
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=n1;i++) {
		if (dfs(i, i))++ans;
		//让左部点 i去找对象 
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

方法2：转化为最大流模型

• 将源点与左端点连条容量为1的边，右端点向汇点连一条容量为1的边，左部点与右部点连一条容量为1的边。那么二分图的最大匹配就是网络流的最大流。

一些定理：

• 最小点覆盖：即最少的点去覆盖所有的边。
  方法：最小点覆盖等于最大匹配数
• 最大独立集：选最多的点，满足两两之间没有边相连。
  方法：最大独立集等于 n - 最大匹配数

三.二分图最大权匹配

什么是二分图最大权匹配

• 边附上了边权。在最大匹配下，求边权和最大的匹配。

方法：转化为最小费用最大流模型（自行转最大费用最大流）

• 源点向左部点连一条容量为1，费用为0的边。左部点向右部点连一条容量为1，费用为边权的边。右部点向汇点连一条容量为，费用为0的边。跑最小费用最大流模板

四.例题训练

主要还是考建模能力

例题1
例题2

• 例题1：让人跟床做完全匹配即可
• 例题2：让外籍飞行员和英国飞行员求最大匹配即可(更模板)

例题3
这就是我说的那道网络流不行的题

• 问题分析：使用匈牙利算法。建模：让属性值a,b，分别连向同一个右部点，保证这两个值不会同时匹配在同一个右部点上。让攻击序列作为左部点，去和武器属性做匹配。匈牙利的过程中若第 i 个点没有匹配，则婷婷。（这个点就是网络流做不到的地方，匈牙利可以挨个去判断第 i 个点是否能匹配到点）。

三.最小点覆盖数

• 对于一个二分图，求其的最小点覆盖数，即用最少的点覆盖所有的边。

定理：最小点覆盖数等于最大匹配数

扩展：最小边覆盖=最大独立集=总节点数-最大匹配数