【AcWing】1.1.4 前缀和

一、前缀和基本介绍

 前缀和分为一维前缀和和二维前缀和。一维前缀和用于求前n项得和，或者是求一个区间内的数之和，如果采用简单的遍历，时间复杂度将是$O(n)$，若采用前缀和的方法则是$O(1)$的复杂度。二维前缀和是一维前缀和的扩展，可以理解维求方格的面积，具体看第二部分。

1、一维前缀和

一维前缀和比较简单用于求前n项和或某个区间内的数之和，用公式描述如下：
1.s[0]=0
2.s[i] = s[i-1]+a[i]
数组a是一维数的序列，s[i]用于记录前i项的和，s[0]初始化为0。

习题链接AcWing795.前缀和

#include
#include
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int a[N],s[N];
/*
一维前缀和
1、求
S[0] = 0
S[i] = a[i]+S[i-1]
2、计算
前5到前7个
S[7]-S[5]
二维前缀和
*/


int main()
{
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    for(int i =1;i<=n;++i)
        cin>>a[i];
    s[0] = 0;
    for(int i =1;i<=n;i++)
        s[i] = s[i-1]+a[i];
    while (k--)
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;

        cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;
    }
    
    system("pause");
    return 0;
}

2、二维前缀和

 二维前缀和用于求二维矩阵中某子矩阵的数之和，例如求下图中绿色子矩阵内所有的数之和，那我们应该如何去求解呢？类比一维前缀和，假设我们已经知道红色子矩阵数之和，蓝色子矩阵数之和，粉色子矩阵中的数之和，分别是$S[x2][y2]、S[x1-1][y2]、S[x2][y1-1]$，绿色区域的前缀和可以用如下式子表示：

$$S[x2][y2]-S[x1-1][y2]-S[x2][y1-1]+S[x1][y1]$$
上式就是求二维矩阵中子矩阵的前缀和公式。

 我们已经知道了如何求解二维矩阵中子矩阵内所有数之和，那么该如何构建矩阵S呢？具体构建方法如下，我们假设绿色区域内的任意子矩阵内数之和已知，接下来求(i,j)红色子矩阵中的数之和，即S[i][j]，从下图中我们不难看出其求法：

$$S[i][j]=a[i][j]+S[i][j-1]+S[i-1][j]-S[i-1][j-1]$$
用文字来描述就是，红色子矩阵的数之和 =a[i][j]元素 + 蓝色子矩阵数之和 + 粉色子矩阵数之和 - 蓝色子矩阵和粉色子矩阵重复的内容（因为重复加了）

习题链接AcWing796 子矩阵的和

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N],s[N][N];
/*

二维前缀和
1、求
初始化
S[i,j] = a[i,j] + S[i-1,j]+s[i,j-1] + s[i-1,j-1]
2、计算
左上角(x1,y1)   右下角(x2,y2)
S[x2,y2] - s[x2,y1-1]-s[x1-1,y2]  + S[x1-1,y1-1]
*/

int main()
{
    int n,m,k;
    cin>>n>>m>>k;
    //memset(s,0,sizeof(s));
    for(int i =1;i<=n;++i)
    {
        for(int j =1;j<=m;++j)
        {
         	cin>>a[i][j];
            s[i][j] = a[i][j] +s[i][j-1]+s[i-1][j]-s[i-1][j-1];
        }
    }

    while (k--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        int num = s[x2][y2] - s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1];
        cout<<num<<endl;
    }
  
    system("pause");
    return 0;
}