量子计算 2 双缝实验之谜与量子比特

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今天将从双缝干涉实验的一个奇怪的现象出发，引入描述量子世界的一个重要的数学概念“机率幅/量子幅（Amplitude）”。然后引入我们本系列的重要主角，“量子比特（Qubit）”，描述量子比特的“基态（Basis state）”，和基态的叠加“纯态（Pure state）”，后续推送还会介绍一个纯态的概率分布“混合态（Mixed state）”。

1 双缝实验之谜？

1.1 双缝实验简介

故事一开始，应该是对于光是波还是粒子的讨论，后面科学家做了一个不大一样的实验，不同于之前光束是很多光子组成的，他们一起通过双缝，然后出现干涉现象，科学家们想看看，如果光子一个一个单独通过双缝会有什么现象。最后的结果大家都知道，就是在这种情况下还是出现了干涉条纹，好像是单独的光子自己跟自己发生了干涉，这个就是量子效应的体现。大家还很了解的就是观察会导致干涉条纹消失，即量子效应没有了，退化成了经典世界的现象。在这里经典世界的现象我们不关心，后期推送会讨论观察或者测量的效应，这里我们只讨论一下，在出现量子效应的时候，引起了一个什么问题？

1.2 双缝实验之谜？

图片来自https://www.scottaaronson.com/

单个光子的干涉和单缝实验对比如图所示，我们需要注意的是双缝实验里面，中间有些很暗的地方，我们记为$Mid$，说明光子到达这里的概率很低，而单缝实验里面的$Mid$位置都是亮的，说明光子到达这里的概率高。重新组织一下语言，会出现下面问题。

$P$记为 事件1：双缝实验中光粒子到达$Mid$ 的概率；
$P_1$记为 事件2：只打开缝隙1时光粒子到达$Mid$的概率；
$P_2$记为 事件3：只打开缝隙2时光粒子到达$Mid$的概率；

我们会自然的认为$P=P_1+P_2$，但是实验结果却表示，可能会出现$P<P_1+P_2$，甚至看实验里面中间有很暗的地方，$P$甚至可能为$0$。这就很尴尬了，科学家们需要建立另一套数学规则来表达这种现象。这其实是命题一延伸表达的内容，参考我的第一篇推送。

既然用概率$P$来描述不了，因为概率要大于等于零，那就引进一个可以小于零的量，并将其和概率联系起来，于是机率幅被聪明的科学家们发明了出来。接着往下看。

2 机率幅

机率幅的出现，及其和概率联系起来的方式很简单，但是这种简单的新规则很好的和量子世界的现象对应起来，是很神奇的玩法，不得不说物理学家和数学家们真。

2.1 机率幅（Amplitude）

既然概率要限制在$[0,1]$里面，那我们就定义一个特别自由的机率幅 $\alpha \in \mathbb{C}$，即其是一个复数，不仅可以大于零小于零，还能是复数，那就相当自由了。所以我们前面用来描述事件的的概率$P,P_1,P_2$ 就用换成用幅值 $\alpha ,{\alpha }_1,{\alpha }_2$。

$\alpha$记为 事件1：双缝实验中光粒子到达$Mid$ 的机率幅；
${\alpha }_1$记为 事件2：只打开缝隙1时光粒子到达$Mid$的机率幅；
${\alpha }_2$记为 事件3：只打开缝隙2时光粒子到达$Mid$的机率幅；

2.2 Born rule（2范数很重要）

但是呢，我们还是要回归到概率的，于是聪明绝顶的科学家们又发明了一个规则玻恩定理（Born rule），把幅值和概率联系起来。即：
$$P=||\alpha |{|}_2=\text{Re}(\alpha {)}^2+\text{Im}(\alpha {)}^2$$ 这个平方用的好用的妙用的呱呱叫，因为有个平方可以解释后面的很多现象，后面还有这个形式的拓展版本，在后续推送里面会进行介绍。

2.3 机率幅表达干涉现象

对应于我们之前认为的$P=P_1+P_2$，现在可以轻松的写成$\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2$。通过玻恩定理可以计算事件1的概率：
$$P=||\alpha |{|}_2=\alpha {\alpha }^{\ast }={\alpha }_1^2+{\alpha }_2^2+{\alpha }_1{\alpha }_2^{\ast }+{\alpha }_2{\alpha }_1^{\ast }$$$$P_1={\alpha }_1^2$$$$P_2={\alpha }_2^2$$ 于是，当${\alpha }_1{\alpha }_2^{\ast }+{\alpha }_2{\alpha }_1^{\ast }<0$的时候，比如一个$0.5$一个$-0.5$，就很容易得到实验里面的现象：$P<P_1+P_2$.

2.4 干涉现象与化学

可以认为核外电子也处于量子态，它们的幅值由于类似的干涉现象可能会互相抵消，而在幅值不会互相抵消的地方，就形成了离散的能级，这也是化学里面最重要的概念之一。

3 量子比特（Qubit）的状态

好啦，前面的那些东西最后都是为了得到机率幅及其和概率的关系，后面还会再拓展，那就后续推送再说咯。

3.1 量子比特的纯态（Pure state）

量子状态用一个复数空间 ${\mathbb{C}}^N$ 单位向量表示。注意状态是可以连续的，但是观察或者测量的结果才是不连续的。

对于一个量子比特来说，其有两种状态，其纯态就是一个二维复数向量来表示，其实就是俩幅值。

3.2 Ket-Bra Notation

为了装逼（不是），我们用Ket Notation来表示这个二维的列向量，用Bra Notation来表示这个二维的行向量（共轭转置）。

Ket Notation表示如下（完蛋CSDN里头的latax不支持ket notation，只能截图了）：

Bra Notation表示如下：

因此|${\psi }_1$>和|${\psi }_2$>的内积可以表达为<${\psi }_1|{\psi }_2$>。

其中的|0>和|1>就是基态（Basis state），这里的特殊情况也称为标准基态（standard basis），这个ket notation的好处就是里面是啥都行，比如里面的基态不是0和1，而是一只 |挂掉的> 和 |活着的>，那这两个基态相加，也可以说是量子态叠加（superposition），得到的纯态。那打开箱子就是测量，就牵扯到以后推送的内容啦。

3.3 Bloch球

从Ket Notation再引出俩常用的基态（Hadamard basis）：

标准基态和Hadamard basis可以在Block球表示（现在画的是圆，球到后面就需要了）。

4 小结和预告

这次通过双缝干涉实验的讨论引进了机率幅（amplitude），以及定义了量子比特的纯态表达。可以发现现在我们需要的数学也就是线性代数，虽然有点麻烦，但是总可以理解。有了量子比特的表达之后，接下来就要对量子比特进行操作，就像经典比特的操作称为门一样，对量子比特的操作也是门，不过是量子门（quantum gate）。另外，和经典比特不一样的是，观察或者说测量，也算是一种操作。让我们相约下周三，来瞅瞅量子比特的操作是怎么进行的，以及测量有会有什么影响呢？