【线性代数的本质】向量、线性变换、张成的空间与基

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自己一直觉得线性代数没有真的弄懂，对于线性代数的学习基本上都是靠记忆而不是理解，为了认真学习线性代数，弄清线性代数背后的本质，特此学习，做下笔记。

什么是向量

线性代数中最基础、最根源的组成部分就是向量，所以对于向量是什么我们需要达成共识然后继续前进。
向量，对于不同领域的人通常对于向量的理解不同，因为在每个领域中的应用和出现的形式有所区别，一般来说有三种不同的理解：

• 在物理学专业看来，向量是空间中带有方向的箭头，而决定一个向量的是它的长度和所指的方向
• 在计算机专业看来，向量是有序的数字列表，例如在房价分析中我们只看房屋面积和价格，那么就会有（房屋面积，价格）这样一个向量
• 在数学专业看来，向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加数字与向量相乘是有意义的即可

在这个过程中，向量加法和数字与向量相乘这两种运算是很重要的。

我们考虑这样一个向量，向量是一个
从原点出发的箭头，我们可以分别从物理角度和计算机角度去看待这个向量。
一个向量的坐标由一对数构成，每对数字对应唯一一个向量，每个向量用唯一的一对数字表示。

向量加法的定义：
我们可以把向量看作一种运动，即朝着某个方向做一定的运动，而向量的加法就对应于两个向量的运动叠加，如下图。

从数字角度看，向量加法就是把对应位置的数字相加。

向量数乘：
在数字与向量做乘法的过程中，没有方向的数字就叫做标量（Scalars），数字起到的主要作用就是缩放向量。

线性变换、张成的空间与基

基的严格定义：

向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。

线性变换

我们都很熟悉坐标了，我们现在用一种新的角度去看待坐标：我们把每个坐标看成标量，他们会放缩某个向量。
而在平面上，有两个特殊的向量，分别为指向正右方的（或者指向x轴正方向）的单位向量 i^{^}，和指向正上方的单位 j^{^}。
我们此时就可以把（3，-2）= 3 * i + （-2） * j看作是两个经过放缩的向量之和。
记住，缩放向量并且相加这个概念。
此时其实我们把 i 和 j 向量称为 xy 坐标系的基向量。

如果我们选择不同的基向量会怎么样？

答案是选择任何两个向量作为基向量（不共线），我们可以得到平面上所有的向量。
当我们用数字描述一个向量时，它都依赖于我们当前所使用的基向量。

两个向量的和被称为这两个向量的线性组合。

为什么叫线性组合呢？我们提供这样一种思路：

• 当我们让两个向量相加时，如果固定一个向量，让另外一个向量任意移动，所产生向量的终点会描述出一条直线。
  

而如果同时变化两个标量，我们就能得到所有的向量！

向量空间

定义：所以可以表示为给定向量线性组合的向量的集合，被称为给定向量张成的空间（span）。
对不共线的任意两个二维向量来说，他们张成的空间是整个二维平面；
而对于共线的两个二维向量来说，他们张成的空间就是一条直线。

其实向量空间所引出的问题就是，仅仅通过向量加法和向量数乘两种操作，你可能得到的所有向量的集合是什么。

向量与点：

当我们考虑很多个向量的时候，通常我们就用向量的终点代表一个向量，因为起点都是原点，当我们考虑所有二维向量时，我们只需要考虑无限大的二维平面即可。

当我们考虑很少的向量的时候，我们还是可以把向量考虑成一个带有箭头的向量。

三维空间张成向量

当我们去考虑三维空间中张成向量的时候，问题变得有趣了。

如果我们固定其中一个向量不动，另外两个向量自由移动，三个向量相加，我们就可以得到一个平面。

三个向量的线性组合也就是选择三个标量，对三个向量分别进行缩放，然后把结果相加，就得到了三个向量的线性组合。

三个向量所有的线性组合组成了他们张成的空间。

当我们再加上第三个向量的时候，之前两个向量形成的平面沿着第三个向量的方向在空间中移动，直到覆盖了空间中所有的位置（相当于一个面沿着某个方向移动，最终会占满所有的位置）。

多个向量的线性相关

结合之前所说的，我们有两种角度去理解多个向量的线性相关：

1. 如果有多个向量，如果移除其中的某一个向量而不会影响他们张成的空间，那么就称这个向量和之前的向量线性相关
2. 如果有某一个向量能够被表示成其他向量的线性组合，那么就称这个向量和之前的向量线性相关，因为这个向量已经落在其他向量张成的空间中。

另一方面，如果每个向量都为张成空间作出了贡献，那么就称它们是线性无关的。

之后会继续学习矩阵及其运算和相关性质。