抽象代数 04.07 Jordan-Holder定理

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$\text{§4.7 Jordan-Holder定理}$

可解群存在次正规序列使得因子都是素数阶循环群，且所有因子的阶的乘积为群G的阶。
$定义4.7.1.称群G的次正规序列$
$G=G_1\supset G_2\supset \cdots \supset G_t=\{1\}$
$为G的合成序列，如果G_i/G_{i+1}为单群，进一步，如果此序列还是正规序列，$
$则称之为主序列。其中,G_i/G_{i+1}为G的合成因子。$
$例4.7.2.1)n\ge 5,S_n\supset A_n\supset \{1\}是S_n的主序列。$
$2)S_4\supset A_4\supset K_4\supset ⟨(12)(34)⟩\supset \{1\}是S_4的合成序列不是主序列。$
$3)G=Z_{15}\supset Z_3\supset \{1\}与G=Z_{15}\supset Z_5\supset \{1\}为G的两个不同的主序列。$
$问题4.7.3.合成序列的存在唯一性?$
$引理4.7.4.有限群G必存在合成序列。$
$例4.7.5.G=Z_{15}的两个不同的主序列的因子集一样。$
$更一般的，可解群的合成因子也有类似性质。$
$定义4.7.6.群G的两个次正规序列$
$G=G_1\supset G_2\supset \cdots \supset G_t=\{1\}$
$G=H_1\supset H_2\supset \cdots \supset H_s=\{1\}$
$称为同构的，如果两个序列的因子集之间一一对应，且对应的因子同构。$
$注记4.7.7.1)两个同构的次正规序列长度相同。$
$2)定义中并不要求G_i/G_{i+1}\cong H_i/H_{i+1}.$
$定理4.7.8(Jordan-Holder).群G的任意两个合成序列同构。因此，G的任$
$意两个主序列也同构。$
$注记4.7.9.Jordan曲线(简单闭曲线)/Jordan曲线定理;Jordan标准形;$
$Jordan-Chevalley分解;$
$证方法一:$
$对G的阶数归纳。1)如果G_2=H_2,则G_2\supset \cdots \supset G_t=\{1\}和H_2\supset \cdots \supset H_s=\{1\}是G_2=H_2的合成序列，利用归纳假设即得两者同构。$
$2)G_2≠H_2.由H_2\subset G_2{H}_2⊲G及H_2的极大性可得G_2{H}_2=G.零K_3=G_2\cap H_2⊲G,则G/H_2=G_2{H}_2/H_2\cong G_2/G_2\cap H_2=G_2/K_3,G/G_2\cong H_2/K_3.任取K_3的合成序列K_3\supset K_4\supset \cdots \supset K_4=\{1\},则我们有如下四个G的合成序列$
$(i)G=G_1\supset G_2\supset G_3\supset \cdots \supset G_t=\{1\}$
$(ii)G=G_1\supset G_2\supset K_3\supset \cdots \supset K_r=\{1\}$
$(iii)G=H_1\supset H_2\supset K_3\supset \cdots \supset K_r=\{1\}$
$(iv)G=H_1\supset H_2\supset H_3\supset \cdots \supset H_s=\{1\}.$
$相邻的两个合成序列同构，因此(i)和(iv)同构。$
$方法二：合成序列的加细。对于已有的两个次正规序列，考虑$
$H_i=H_i\cap G_1\supseteq H_1\cap G_2\supseteq \cdots \supseteq H_1\cap G_t=\{1\}.$
$去掉其中相同的项就得到H_i的次正规序列，若要其每一项包含H_{i+1},则考虑$
$H_i=(H_i\cap G_1)H_{i+1}\supseteq (H_i\cap G_2)H_{i+1}\supseteq \cdots \supseteq (H_i\cap G_t)H_{i+1}=H_{i+1}.$
$由于H_i/H_{i+1}为单群(H_{i+1}为H_i的极大真正规子群)，故存在唯一的i^{\prime }使得H_i=(H_i\cap G_{i^{\prime }})H_{i+1},且(H_i\cap G_{i^{\prime }+1})H_{i+1}=H_{i+1},则$
$H_i/H_{i+1}\cong (H_i\cap G_{i^{\prime }})H_{i+1}/(H_i\cap G_{i^{\prime }+1})H_{i+1}$
$\cong H_i\cap G_{i^{\prime }}/(H_i\cap G_{i^{\prime }}\cap (H_i\cap G_{i^{\prime }+1})H_{i+1})$
$\cong H_i\cap G_{i^{\prime }}/(G_{i^{\prime }}\cap (H_i\cap G_{i^{\prime }+1})H_{i+1})$
$\cong H_i\cap G_{i^{\prime }}/(G_{i^{\prime }}\cap H_{i+1})(H_i\cap G_{i^{\prime }+1}).$
$同理，$
$G_{i^{\prime }}/G_{i^{\prime }+1}\cong H_i\cap G_{i^{\prime }}/(G_{i^{\prime }}\cap H_{i+1})(H_i\cap G_{i^{\prime }+1})\cong H_i/H_{i+1}.$