波束形成中的主瓣宽度

阵列信号处理相关基础知识及主瓣宽度

      • 导向矢量
      • 阵列方向图
      • 确知波束形成
      • 普通波束形成
      • 主瓣宽度
        • 确知波束形成主瓣宽度
        • 普通波束形成主瓣宽度

在讨论主瓣宽度之前,首先得了解导向矢量、波束形成、阵列方向图的概念,这些是阵列信号处理中最基础的知识。

导向矢量

在这里插入图片描述

图1. 均匀线性阵接收信号模型

对于均匀线阵,俯仰角 θ \theta θ的定义域通常为 θ ∈ ( − 9 0 ∘ , 9 0 ∘ ) \theta \in (-90^{\circ},90^{\circ}) θ(90,90)。设阵列参考点为 ο \omicron ο,即左起第一个阵元。由几何关系我们可以知道,第 m m m个阵元相对于参考点的波程差为 ( m − 1 ) d s i n θ (m-1)d\rm{sin}\theta (m1)dsinθ,因此我们可以得到第 m m m个阵元相对于参考点的时延 τ m \tau_m τm
τ m = ( m − 1 ) d s i n θ c \tau_m=\frac{(m-1)d\rm{sin}\theta}{c} τm=c(m1)dsinθ
利用上式,均匀线阵的导向矢量可以表示为:
a ( θ ) = [ 1 , e j 2 π d s i n θ λ , . . . , e j 2 π ( M − 1 ) d s i n θ λ ] T \bm{a}(\theta)=[1,e^{j\frac{2\pi d\rm{sin}\theta}{\lambda}},...,e^{j\frac{2\pi (M-1)d\rm{sin}\theta}{\lambda}}]^{T} a(θ)=[1,ejλ2πdsinθ,...,ejλ2π(M1)dsinθ]T
在均匀线性阵中,要求相邻阵元间距 d ≤ λ / 2 d\leq \lambda/2 dλ/2,否则会造成相位混叠,进而影响单脉冲测角。
由导向矢量,可以得到来波方向为 θ \theta θ的信号 s ( t ) s(t) s(t)的阵列输出为:
y = a ( θ ) s ( t ) y=\bm{a}(\theta)s(t) y=a(θ)s(t)
一个包含 M M M个阵元的阵列,在 N N N个快拍下,接收到的信号可以排列为一个 N × M N\times M N×M的矩阵,有没有一种方法,将这 M M M个阵元接收到的信号进行加权求和得到一个还是 N × 1 N\times 1 N×1的向量呢?这就是波束形成,不同的权值计算方法对应不同的波束形成。在了解波束形成之前,首先要了解阵列方向图的概念。

阵列方向图

首先要知道,方向图是一条曲线,横坐标是角度,纵坐标是强度/增益。方向图是指给定权矢量对不同角度信号的阵列响应,它表明了阵列输出与来波方向之间的关系。阵列方向图能够反映波束形成的效果,它与来波方向 θ \theta θ有关,定义为:
F ( θ ) = W H a ( θ ) F(\theta)=W^Ha(\theta) F(θ)=WHa(θ)
W = [ w 1 , w 2 , ⋯   , w M ] T W=[w_1,w_2,\cdots,w_M]^T W=[w1,w2,,wM]T
通常情况下,取模的平方,再对其做归一化处理,得到幅度方向图增益为
G ( θ ) = ∣ F ( θ ) ∣ m a x ∣ F ( θ ) ∣ G(\theta)=\frac{|F(\theta)|}{max|F(\theta)|} G(θ)=maxF(θ)F(θ)
功率方向图增益为
G ( θ ) = ∣ F ( θ ) ∣ 2 m a x ∣ F ( θ ) ∣ 2 G(\theta)=\frac{|F(\theta)|^2}{max|F(\theta)|^2} G(θ)=maxF(θ)2F(θ)2
通常以分贝为单位,幅度方向图为:
G ( θ ) = 10 l g ∣ F ( θ ) ∣ m a x ∣ F ( θ ) ∣ G(\theta)=10lg\frac{|F(\theta)|}{max|F(\theta)|} G(θ)=10lgmaxF(θ)F(θ)
功率方向图为:
G ( θ ) = 20 l g ∣ F ( θ ) ∣ m a x ∣ F ( θ ) ∣ G(\theta)=20lg\frac{|F(\theta)|}{max|F(\theta)|} G(θ)=20lgmaxF(θ)F(θ)
一般情况下,我们约定阵列发现方向为 0 ∘ 0^{\circ} 0,顺时针方向为正角度方向,逆时针方向为负角度方向。即 θ ∈ [ − 9 0 ∘ , 9 0 ∘ ] \theta\in[-90^{\circ},90^{\circ}] θ[90,90]。一般情况下,方向图分为两类,一是静态方向图,即为阵列输出的直接相加,其方向图的最大增益出现再阵列的法线方向,即 θ = 0 ∘ \theta=0^{\circ} θ=0;二是带有指向的方向图,其信号的指向通过加权相位的控制来实现。

确知波束形成

下面以静态方向图为例,它也被称之为确知波束形成,即各个阵元信号进行均匀加权, W = [ 1 , 1 , ⋯   , 1 ] T W=[1,1,\cdots,1]^T W=[1,1,,1]T
对于确知波束形成,可以得到方向图功率增益为
G ( θ ) = 1 N 2 ∣ ∑ n = 1 N e j 2 π λ d ( n − 1 ) s i n θ ∣ 2 = ∣ s i n ( π d N s i n θ / λ ) N s i n ( π d s i n θ / λ ) ∣ 2 G(\theta)=\frac{1}{N^2}|\sum_{n=1}^{N}e^{j\frac{2\pi}{\lambda}d(n-1)sin\theta}|^2=|\frac{sin(\pi dNsin \theta /\lambda)}{Nsin(\pi d sin\theta /\lambda)} |^2 G(θ)=N21n=1Nejλ2πd(n1)sinθ2=Nsin(πdsinθ/λ)sin(πdNsinθ/λ)2
阵元数 M = 16 M=16 M=16,阵元间距为 1 / 2 λ 1/2\lambda 1/2λ的归一化功率方向图:

波束形成中的主瓣宽度_第1张图片

图1. 均匀加权ULA阵的功率增益方向图

可以看到,当权值都为1的时候,波束形成后,在0°方向形成峰值,其他方向进行了抑制。

普通波束形成

上面的确知波束形成,权重 W = [ 1 , 1 , ⋯   , 1 ] T W=[1,1,\cdots,1]^T W=[1,1,,1]T,使得阵列在0°方向形成了最大增益,然而在实际情况中,感兴趣的目标信号不一定在法线方向。因此有必要对权值进行调整,使得对阵元接收数据进行加权求和后,主波束总指向期望信号的方向,因为方向图会进行归一化,所以这个权值没必要是大于1的幅度,我们直接取与一个复指数就 e j φ e^{j\varphi} ejφ行了。可以证明,当权重 W W W等于期望方向 θ 0 \theta_0 θ0的导向矢量时,权系数能够行号对各个阵元接收到的信号进行相位补偿,使得相加前的各阵元信号相位相同。
W = a ( θ 0 ) W=a(\theta_0) W=a(θ0)
此时在期望方向获得的增益为:
F ( θ 0 ) = a H ( θ 0 ) a ( θ 0 ) = M F(\theta_0)=a^{H}(\theta_0)a(\theta_0)=M F(θ0)=aH(θ0)a(θ0)=M
增益值刚好等于阵元数 M M M,所以阵元数越多,获得的增益也就越强,后面我们对波束宽度的分析还可以知道,当阵元越多的时候,波束的宽度会越小,即阵列的方向性越强,空间分辨能力越强。如果把一个线阵看作是一个线性孔径的等间距采样,它等效为:阵元数越多的时候,天线的孔径越大。
使用此系数的波束形成器被称之为普通波束形成器(CBF)。
下面是一个指向10°,阵元数 M = 16 M=16 M=16,阵元间距为 1 / 2 λ 1/2\lambda 1/2λ的归一化功率方向图:
波束形成中的主瓣宽度_第2张图片

图2.普通波束形成ULA阵的方向图

主瓣宽度

我们除了想知道主瓣指向的角度外,还希望得到空间的分辨能力。我们定义主波束宽度为方向图功率相对最高增益下降3dB处的宽度,即为半功率增益

确知波束形成主瓣宽度

对于确知波束形成,可以得到方向图功率增益为
G ( θ ) = 1 N 2 ∣ ∑ n = 1 N e j 2 π λ d ( n − 1 ) s i n θ ∣ 2 = ∣ s i n ( π d N s i n θ / λ ) N s i n ( π d s i n θ / λ ) ∣ 2 G(\theta)=\frac{1}{N^2}|\sum_{n=1}^{N}e^{j\frac{2\pi}{\lambda}d(n-1)sin\theta}|^2=|\frac{sin(\pi dNsin \theta /\lambda)}{Nsin(\pi d sin\theta /\lambda)} |^2 G(θ)=N21n=1Nejλ2πd(n1)sinθ2=Nsin(πdsinθ/λ)sin(πdNsinθ/λ)2
根据主波束宽度的定义,

G ( θ ) = ∣ s i n ( π d N s i n θ 0.5 / λ ) N s i n ( π d s i n θ 0.5 / λ ) ∣ 2 = 0.5 G(\theta)=|\frac{sin(\pi dNsin \theta_{0.5} /\lambda)}{Nsin(\pi d sin\theta_{0.5} /\lambda)} |^2=0.5 G(θ)=Nsin(πdsinθ0.5/λ)sin(πdNsinθ0.5/λ)2=0.5
通常主波束很窄, ∣ θ 0.5 ∣ |\theta_{0.5}| θ0.5非常小,因此 s i n ( π d s i n θ 0.5 / λ ) ≈ π d s i n θ 0.5 / λ sin(\pi d sin\theta_{0.5}/\lambda)\approx \pi d sin\theta_{0.5}/\lambda sin(πdsinθ0.5/λ)πdsinθ0.5/λ,因此可以将上式化为:
s i n ( π d N s i n θ 0.5 / λ ) N π d s i n θ 0.5 / λ = 1 2 \frac{sin(\pi dNsin \theta_{0.5} /\lambda)}{N\pi d sin\theta_{0.5} /\lambda} =\frac{1}{\sqrt{2}} Nπdsinθ0.5/λsin(πdNsinθ0.5/λ)=2 1
上式近似为sinc函数,由此可以得到
N π d s i n θ 0.5 λ = 1.39 \frac{N\pi dsin\theta_{0.5}}{\lambda}=1.39 λNπdsinθ0.5=1.39

s i n θ 0.5 = 1.39 λ N π d sin\theta_{0.5}=\frac{1.39\lambda}{N\pi d} sinθ0.5=Nπd1.39λ
又有 s i n θ 0.5 ≈ θ 0.5 sin\theta_{0.5}\approx\theta_{0.5} sinθ0.5θ0.5,得到
θ 0.5 = 1.39 λ N π d ( r a d ) = 1.39 × 180 λ π 2 N d ( ∘ ) ≈ 25.35 λ N d ( ∘ ) \theta_{0.5}=\frac{1.39\lambda}{N\pi d}(rad)=\frac{1.39\times180\lambda }{\pi^2 Nd}(^\circ)\approx\frac{25.35\lambda }{ Nd}(^\circ) θ0.5=Nπd1.39λ(rad)=π2Nd1.39×180λ()Nd25.35λ()
要注意的是,主瓣宽度是两倍的主波束最大角度,如下图所示:
波束形成中的主瓣宽度_第3张图片

图3.主瓣宽度示意图

可以求得主波束宽度为:
θ m b = 2 θ 0.5 = 25.35 × 2 λ N d ( ∘ ) = 50.7 λ N d ( ∘ ) \theta{mb}=2\theta_{0.5}=\frac{25.35\times2\lambda }{ Nd}(^\circ)=\frac{50.7\lambda }{ Nd}(^\circ) θmb=2θ0.5=Nd25.35×2λ()=Nd50.7λ()
对于常见的阵列结构,阵元间距 d = 1 / 2 λ d=1/2\lambda d=1/2λ的情况下,可以得到主波束宽度为:
θ m b = 2 θ 0.5 = 25.35 × 2 λ N d ( ∘ ) = 50.7 λ N 1 / 2 λ ( ∘ ) = 101.4 N ( ∘ ) \theta{mb}=2\theta_{0.5}=\frac{25.35\times2\lambda }{ Nd}(^\circ)=\frac{50.7\lambda }{ N1/2\lambda}(^\circ)=\frac{101.4 }{ N}(^\circ) θmb=2θ0.5=Nd25.35×2λ()=N1/2λ50.7λ()=N101.4()

普通波束形成主瓣宽度

普通波束形成的情况下,波束指向期望方向,这时,主瓣宽度相对于确知波束形成而言相对较大,我们也可以将确知波束形成当作是普通波束形成的一种特例,即波束指向0°时为确知波束形成,当指向其他的期望方向时为普通波束形成。当天线阵列在进行扫描时,波束就会偏离法线方向,假设波束指向偏离法线方向的角度为 θ Δ \theta_{\Delta} θΔ,此时阵列在空间上有效的接收信号的孔径为 N d c o s θ Δ Ndcos\theta_{\Delta} NdcosθΔ,经推导可以得到主波束的宽度为:
θ m b s = θ m b c o s θ Δ = 50.7 λ N d c o s θ Δ ( ∘ ) \theta_{mbs}=\frac{\theta{mb}}{cos\theta_{\Delta}}=\frac{50.7\lambda }{ Ndcos\theta_{\Delta}}(^\circ) θmbs=cosθΔθmb=NdcosθΔ50.7λ()
对于常见的阵列结构,阵元间距 d = 1 / 2 λ d=1/2\lambda d=1/2λ的情况下,可以得到主波束宽度为:
θ m b s = 2 θ 0.5 = 50.7 λ N 1 / 2 λ c o s θ Δ ( ∘ ) = 101.4 N c o s θ Δ ( ∘ ) \theta{mbs}=2\theta_{0.5}=\frac{50.7\lambda }{ N1/2\lambda cos\theta_{\Delta}}(^\circ)=\frac{101.4 }{ Ncos\theta_{\Delta}}(^\circ) θmbs=2θ0.5=N1/2λcosθΔ50.7λ()=NcosθΔ101.4()
下面是一些常见的实例:
波束指向0°的时候,阵元数为16,主波束宽度为6.34°
波束指向5°的时候,阵元数为16,主波束宽度为6.36°
波束指向0°的时候,阵元数为8,主波束宽度为12.68°
波束指向5°的时候,阵元数为8,主波束宽度为12.72°

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