Otsu算法——最大类间方差法（大津算法）

Otsu算法，又被称为最大类间方差法（大津算法），是一种确定阈值的算法。

1. 算法理解

Otsu算法之所以称为最大类间方差法是因为，该方法主要是通过阈值进行前后背景分割，而该方法确定最佳阈值的方法是该值使类间方差最大，它是按图像的灰度特性,将图像分成背景和前景两部分，使类间方差最大的分割意味着错分概率最小。

2. 算法原理

以灰度图像为例，对于图像$img$，我们可以将其看作一个$M\times N$大小的矩阵，即图像中的像素，每一个值即为像素值，其中像素值在$(0255)$之间。
前景(即目标)和背景的分割阈值记作$optima{l}_{threshold}$，属于前景的像素点数占整幅图像的比例记为${\omega }_0$，前景平均灰度记为${\mu }_0$；背景像素点数占整幅图像的比例记为${\omega }_1$，其平均灰度记为${\mu }_1$。图像的总平均灰度记为$\mu$，类间方差记为$maximum$。
假设图像的背景较暗，并且图像的大小为M×N，图像中像素的灰度值小于阈值$optima{l}_{threshold}$的像素个数记作$N_0$，像素灰度大于等于阈值$optima{l}_{threshold}$的像素个数记作$N_1$，则有：
$${\omega }_0=N_0/(M\times N)\text{\hspace{1em}(1)}$$
　　　　　　$${\omega }_1=N_1/(M\times N)\text{\hspace{1em}(2)}$$
　　　　　　$$N_0+N_1=M\times N\text{\hspace{1em}(3)}$$
　　　　　　$$1={\omega }_0+{\omega }_1\text{\hspace{1em}(4)}$$
　　　　　　$$\mu ={\omega }_0\times {\mu }_0+{\omega }_1\times {\mu }_1\text{\hspace{1em}(5)}$$
　　　　　　$$maximum={\omega }_0\times ({\mu }_0-\mu {)}^2+{\omega }_1\times ({\mu }_1-\mu {)}^2\text{\hspace{1em}(6)}$$
将式(5)代入式(6)，得到等价公式(7)：
$$maximum={\omega }_0\times {\omega }_1\times ({\mu }_0-{\mu }_1{)}^2\text{\hspace{1em}(7)}$$
采用遍历的方法得到使类间方差$maximum$最大的阈值$optima{l}_{threshold}$。

3. 分割方式

通过使用Ostu 算法对最佳阈值求解后，我们可以选择不同的分割方式进行分割，分割方式如下：

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• 二值法( $threshbinary$)
  $$img(i,j)=\{\begin{array}{ll}maxval& ifimg(i,j)>threshold\\ 0& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
  当然，该方法也可以稍微转变，改变前后背景，即目标，如公式(9)
  $$img(i,j)=\{\begin{array}{ll}0& ifimg(i,j)>threshold\\ maxval& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$
  公式(9)也可以被称作逆二值法( $threshbinaryinv$)

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• 截断法($threshtrunc$)
  $$img(i,j)=\{\begin{array}{ll}threshold& ifimg(i,j)>threshold\\ img(i,j)& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$
  该方法能不能像上面方法一样，有一个逆截断法呢？当然也是可以的，可以根据具体需要进行相应的改变。
  逆截断法($threshtruncinv$) 如公式(11)所示：
  $$img(i,j)=\{\begin{array}{ll}img(i,j)& ifimg(i,j)>threshold\\ threshold& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

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• 归零法($threshtozero$)
  $$img(i,j)=\{\begin{array}{ll}img(i,j)& ifimg(i,j)>threshold\\ 0& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$

逆归零法($threshtozeroinv$) 如公式(13)所示：
$$img(i,j)=\{\begin{array}{ll}0& ifimg(i,j)>threshold\\ img(i,j)& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$

4. 算法评价

优点：算法简单，当目标与背景的面积相差不大时，能够有效地对图像进行分割。

缺点：类间方差法对噪声以及目标大小十分敏感，它仅对类间方差为单峰的图像产生较好的分割效果。当目标与背景的大小比例悬殊时（例如受光照不均、反光或背景复杂等因素影响），类间方差准则函数可能呈现双峰或多峰，或者目标与背景的灰度有较大的重叠时，效果不不是很理想。

原因：该方法忽略了图像的空间信息，同时将图像的灰度分布作为分割图像的依据，对噪声也相当敏感。

5. 算法实现

以下方图片为例：

使用Ostu 算法进行分割的效果如下：

上图分割时使用的是归零法。

算法代码

• Ostu算法(最大类间方差代码)

function[optimal_threshold] = Maximum_between_class_variance(img)
    [row, col] = size(img);
    count_pixel = row * col;
    maximum = -1;
    for i=0:255
        N0 = sum(sum(img=i)) / N1;
        g = omega0 * omega1 * (mu0 - mu1) ^ 2;
        if g > maximum
            maximum = g;
            optimal_threshold = i;
        end
    end
end

• 测试代码

img = imread("fig.tif");
imshow(img)
threshold = Maximum_between_class_variance(img);
img(img<=threshold) = 0;
imshow(img);