【数学】基本黎曼几何

本文中，我们来讨论一下关于黎曼几何的几个基础问题。

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引入

大数学家黎曼在1851年发表了一篇论文，在这篇论文中，他提出了黎曼几何，即在一个曲面上没有直线相平行。这一类曲面称为黎曼流体。由于作者是一个蒟蒻，所以在本文中，我们只讨论球这个基本流体。

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Q1：球面上的直线

根据欧氏几何的定义，我们知道，一个平面上的直线为两点之间最短的线的延长线。
所以球上的直线怎么定义呢？如图所示，是一个圆。

于是，我们不难发现，直线是有限长的！太聪明了

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Q2：球面上的平行线

在欧氏几何中，永不相交的直线互为平行线，而显然在平面内一条直线的平行线无穷多。
球上有没有平行线呢？
我们先来证明另一个问题：
读者此时可能有一种感觉：是不是球上的直线，即那个圆，都是球上那个极大的圆呢？
接下来画图！
任取点 C、D，作猜想圆 a （极大圆）与其他圆 b （小圆）。

将 a、b 旋转到同一平面上。

明显 a 更优，故 a 为直线，而 b 不为直线。
那么我们经过连蒙带猜得到了一个事实：球面上的直线都是极大，每两条直线都等长，可由旋转得来。
所以我们也就得到了问题的结论：球面上没有平行线（这也是黎曼几何的定义）。

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Q3：球面上的三角形

取三点 A,B,C，在欧式几何里，若三点不共线必有一个三角形。
在黎曼几何里同样如此。

如图，我们明显看到，这个三角形的内角和是 217.93°，大于 180°。