2736. 最大和查询 : 从一维限制到二维限制，逐步思考剖析本题（进阶一问）
题目描述
这是 LeetCode 上的 「2736. 最大和查询」 ，难度为 「困难」。
Tag : 「排序」、「离散化」、「树状数组」
给你两个长度为 n、下标从 0 开始的整数数组 nums1 和 nums2，另给你一个下标从 1 开始的二维数组 queries，其中 。
对于第 i 个查询，在所有满足 且 的下标 j ( ) 中，找出 的 最大值 ，如果不存在满足条件的 j 则返回 。
返回数组 answer，其中 answer[i] 是第 i 个查询的答案。
示例 1：
输入：nums1 = [4,3,1,2], nums2 = [2,4,9,5], queries = [[4,1],[1,3],[2,5]]
输出：[6,10,7]
解释：
对于第 1 个查询：xi = 4 且 yi = 1 ，可以选择下标 j = 0 ，此时 nums1[j] >= 4 且 nums2[j] >= 1 。nums1[j] + nums2[j] 等于 6 ，可以证明 6 是可以获得的最大值。
对于第 2 个查询：xi = 1 且 yi = 3 ，可以选择下标 j = 2 ，此时 nums1[j] >= 1 且 nums2[j] >= 3 。nums1[j] + nums2[j] 等于 10 ，可以证明 10 是可以获得的最大值。
对于第 3 个查询：xi = 2 且 yi = 5 ，可以选择下标 j = 3 ，此时 nums1[j] >= 2 且 nums2[j] >= 5 。nums1[j] + nums2[j] 等于 7 ，可以证明 7 是可以获得的最大值。
因此，我们返回 [6,10,7] 。
示例 2：
输入：nums1 = [3,2,5], nums2 = [2,3,4], queries = [[4,4],[3,2],[1,1]]
输出：[9,9,9]
解释：对于这个示例，我们可以选择下标 j = 2 ，该下标可以满足每个查询的限制。
示例 3：
输入：nums1 = [2,1], nums2 = [2,3], queries = [[3,3]]
输出：[-1]
解释：示例中的查询 xi = 3 且 yi = 3 。对于每个下标 j ，都只满足 nums1[j] < xi 或者 nums2[j] < yi 。因此，不存在答案。
提示：
离散化 + 排序 + 树状数组
根据题意，两个等长的数组 num1 和 nums2，只能是相同下标的元素凑成一对。
我们不妨用两个一维数组 nums1 和 nums2 构建出一个二维数组 nums，方便后续处理，其中 。
同时对 queries 进行简单拓展，构建新的二维数组 nq，目的是对原有下标信息进行记录，其中 （此处构建新 nq 的作用，下文会说）。
好了，现在我们有两个新的数组 nums 和 nq，接下来所有讨论都会针对新数组进行。
我希望你牢牢记住：** 是对 nums1 和 nums2 的简单合并；而 是对 queries 原有下标的拓展记录**。
做完简单的预处理工作后，来思考一个前置问题：
假设其他内容不变，要求从满足「 且 」调整为仅需满足「 」，我们会如何求解？
一个简单的做法：
-
对
nums中的第一维（即 ）和nq中第一维（即 ）排倒序； -
从前往后处理每个询问 ，同时使用变量
idx对nums进行扫描，若满足 时，将idx右移，同时记录已被扫描的数对和 。当
idx不能再后移时，说明当前所有满足 要求的数对已被扫描完，在记录的数对和中取最大值，即是当前询问 的答案 （此处解释了为什么需要构造新数组nq，因为询问处理是按照排序后进行，但在ans中需要映射回原有顺序）。 -
重复步骤 ，直到处理完所有询问。
搞定前置问题后，回到原问题，需要满足「 且 」要求。
进一步思考，排序 + 调整询问顺序，只能解决其中一维限制要求，另一维该如何处理？
或者更加直接的问题：如何在被记录的所有数对和 中找出那些满足 的最大数对和。
不失一般性，假设当前处理到的是 ，其中 的限制要求，通过前置问题的排序方式解决了。另外的 「 我们希望作为“位置信息”，数对和 作为“值信息”进行记录」。
由于条件 ，我们需要对将要作为“位置信息”添加到树状数组的 和 进行离散化，将其映射到 范围内。
对于每个询问，都需要找到已遍历过的大于 的位置上的最大值，把离散化后的值域换成数组坐标，相当于求后缀最大值，后缀最大值可通过相反数，变成求前缀最大值。
能够实现类似的前缀操作，支持“单点修改”和“区间查询”的数据结构是「树状数组」。
Java 代码：
class Solution {
int sz;
int[] tr;
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int a, int b) {
for (int i = a; i <= sz; i += lowbit(i)) tr[i] = Math.max(tr[i], b);
}
int query(int x) {
int ans = -1;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans = Math.max(ans, tr[i]);
return ans;
}
public int[] maximumSumQueries(int[] nums1, int[] nums2, int[][] queries) {
int n = nums1.length, m = queries.length;
// 构建新的 nums 和 nq
int[][] nums = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) nums[i] = new int[]{nums1[i], nums2[i]};
int[][] nq = new int[m][3];
for (int i = 0; i < m; i++) nq[i] = new int[]{queries[i][0], queries[i][1], i};
// 对要添加到树状数组的 nums[i][1] 和 nq[i][1] 进行离散化（构建映射字典, 将原值映射到 [0, m - 1])
Set set = new HashSet<>();
for (int[] x : nums) set.add(x[1]);
for (int[] q : nq) set.add(q[1]);
List list = new ArrayList<>(set);
Collections.sort(list);
sz = list.size();
Map map = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < sz; i++) map.put(list.get(i), i);
// 调整询问顺序, 解决其中一维限制
Arrays.sort(nums, (a,b)->b[0]-a[0]);
Arrays.sort(nq, (a,b)->b[0]-a[0]);
tr = new int[sz + 10];
Arrays.fill(tr, -1);
int[] ans = new int[m];
int idx = 0;
for (int[] q : nq) {
int x = q[0], y = q[1], i = q[2];
// 扫描所有满足 nums[idx][0] >= x 的数对, 添加到树状数组中（其中离散值作为位置信息, 数对和作为值信息）
while (idx < n && nums[idx][0] >= x) {
add(sz - map.get(nums[idx][1]), nums[idx][0] + nums[idx][1]);
idx++;
}
ans[i] = query(sz - map.get(y)); // 查询树状数组中的最值
}
return ans;
}
}
C++ 代码：
class Solution {
public:
int sz;
vector<int> tr;
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int a, int b) {
for (int i = a; i <= sz; i += lowbit(i)) tr[i] = max(tr[i], b);
}
int query(int x) {
int ans = -1;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans = max(ans, tr[i]);
return ans;
}
vector<int> maximumSumQueries(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2, vector<vector<int>>& queries) {
int n = nums1.size(), m = queries.size();
// 构建新的 nums 和 nq
vector<vector<int>> nums(n, vector<int>(2));
vector<vector<int>> nq(m, vector<int>(3));
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i][0] = nums1[i]; nums[i][1] = nums2[i];
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
nq[i][0] = queries[i][0]; nq[i][1] = queries[i][1]; nq[i][2] = i;
}
// 对要添加到树状数组的 nums[i][1] 和 nq[i][1] 进行离散化（构建映射字典, 将原值映射到 [0, m - 1])
unordered_set<int> set;
for (auto& x : nums) set.insert(x[1]);
for (auto& q : nq) set.insert(q[1]);
vector<int> list(set.begin(), set.end());
sort(list.begin(), list.end());
sz = list.size();
map<int, int> map;
for (int i = 0; i < sz; i++) map[list[i]] = i;
// 调整询问顺序, 解决其中一维限制
sort(nums.begin(), nums.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
return a[0] > b[0];
});
sort(nq.begin(), nq.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
return a[0] > b[0];
});
tr.resize(sz + 10, -1);
vector<int> ans(m);
int idx = 0;
for (auto& q : nq) {
int x = q[0], y = q[1], i = q[2];
// 扫描所有满足 nums[idx][0] >= x 的数对, 添加到树状数组中（其中离散值作为位置信息, 数对和作为值信息）
while (idx < n && nums[idx][0] >= x) {
add(sz - map[nums[idx][1]], nums[idx][0] + nums[idx][1]);
idx++;
}
ans[i] = query(sz - map[y]); // 查询树状数组中的最值
}
return ans;
}
};
Python 代码：
class Solution:
def maximumSumQueries(self, nums1: List[int], nums2: List[int], queries: List[List[int]]) -> List[int]:
sz = 0
tr = []
def lowbit(x):
return x & -x
def add(a, b):
i = a
while i <= sz:
tr[i] = max(tr[i], b)
i += lowbit(i)
def query(x):
ans, i = -1, x
while i > 0:
ans = max(ans, tr[i])
i -= lowbit(i)
return ans
n, m = len(nums1), len(queries)
# 构建新的 nums 和 nq
nums = [(nums1[i], nums2[i]) for i in range(n)]
nq = [(queries[i][0], queries[i][1], i) for i in range(m)]
# 对要添加到树状数组的 nums[i][1] 和 nq[i][1] 进行离散化（构建映射字典, 将原值映射到 [0, m - 1])
unique_set = set()
for x in nums:
unique_set.add(x[1])
for q in nq:
unique_set.add(q[1])
unique_list = list(unique_set)
unique_list.sort()
sz = len(unique_list)
mapping = {val: idx for idx, val in enumerate(unique_list)}
# 调整询问顺序, 解决其中一维限制
nums.sort(key=lambda x: x[0], reverse=True)
nq.sort(key=lambda x: x[0], reverse=True)
tr = [-1] * (sz + 10)
ans = [0] * m
idx = 0
for x, y, i in nq:
# 扫描所有满足 nums[idx][0] >= x 的数对, 添加到树状数组中（其中离散值作为位置信息, 数对和作为值信息）
while idx < n and nums[idx][0] >= x:
add(sz - mapping[nums[idx][1]], nums[idx][0] + nums[idx][1])
idx += 1
ans[i] = query(sz - mapping[y]) # 查询树状数组中的最值
return ans
TypeScript 代码：
function maximumSumQueries(nums1: number[], nums2: number[], queries: number[][]): number[] {
let sz = 0;
let tr = [];
const lowbit = function(x: number): number {
return x & -x;
}
const add = function(a: number, b: number): void {
for (let i = a; i <= sz; i += lowbit(i)) tr[i] = Math.max(tr[i], b);
}
const query = function(x: number): number {
let ans = -1;
for (let i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans = Math.max(ans, tr[i]);
return ans;
}
const n = nums1.length, m = queries.length;
// 构建新的 nums 和 nq
const nums = Array.from({ length: n }, (_, i) => [nums1[i], nums2[i]]);
const nq = Array.from({ length: m }, (_, i) => [...queries[i], i]);
// 对要添加到树状数组的 nums[i][1] 和 nq[i][1] 进行离散化（构建映射字典, 将原值映射到 [0, m - 1])
const set: Set<number> = new Set();
for (const x of nums) set.add(x[1]);
for (const q of nq) set.add(q[1]);
const list: number[] = [...set];
list.sort((a, b) => a - b);
sz = list.length;
const mapping = new Map();
for (let i = 0; i < sz; i++) mapping.set(list[i], i);
// 调整询问顺序, 解决其中一维限制
nums.sort((a, b) => b[0] - a[0]);
nq.sort((a, b) => b[0] - a[0]);
tr = Array(sz + 10).fill(-1);
const ans = Array(m).fill(0);
let idx = 0;
for (let [x, y, i] of nq) {
// 扫描所有满足 nums[idx][0] >= x 的数对, 添加到树状数组中（其中离散值作为位置信息, 数对和作为值信息）
while (idx < n && nums[idx][0] >= x) {
add(sz - mapping.get(nums[idx][1])!, nums[idx][0] + nums[idx][1]);
idx++;
}
ans[i] = query(sz - mapping.get(y)!); // 查询树状数组中的最值
}
return ans;
};
- 时间复杂度：令
nums1长度为 ，queries长度为 ，构建nums和nq的复杂度为 ；离散化复杂度为 ；对nums和nq的排序复杂度为 ；构建答案复杂度为 。整体复杂度为 - 空间复杂度：
进阶
本题解讲述了「从一维到二维偏序问题」时，可通过「一维排序，一维树状数组」求通解。
那三维偏序问题呢？是否存在通用的解决思路。
答：一维排序，一维归并，一维树状数组。
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.2736 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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