矩阵代数概论

矩阵代数

共轭转置

对于矩阵$A=[a_{ij}]$，共轭矩阵被定义为$\overline{A}=[{\overline{a}}_{ij}]$，所以$A$的共轭转置${\overline{A}}^T=\overline{A^T}$，其中${\overline{A}}^T$记为$A^{\ast }$。
( 1 − 4 i i 2 3 2 + i 0 ) ∗ = ( 1 + 4 i 3 − i 2 − i 2 0 ) \begin{pmatrix}1-4\text{i}&\text{i}&2\\3&2+\text{i}&0\end{pmatrix}^*=\begin{pmatrix}1+4\text{i}&3\\-\text{i}&2-\text{i}\\2&0\end{pmatrix} (1−4i3​i2+i​20​)∗= ​1+4i−i2​32−i0​ ​
其中符合如下规则
$$\begin{array}{rl}{\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)}^T& ={\mathbf{A}}^T+{\mathbf{B}}^T\text{ and }{\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\ast }+{\mathbf{B}}^{\ast }.\\ & \\ {\left(\alpha \mathbf{A}\right)}^T& =\alpha {\mathbf{A}}^T\text{ and }{\left(\alpha \mathbf{A}\right)}^{\ast }=\overline{\alpha }{\mathbf{A}}^{\ast }.\end{array}$$

线性系统
$$f(\alpha x+y)=\alpha f(x)+f(y)$$
其中满足
$$\begin{gathered} (AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast } \\ trace(ABC)=trace(BCA)=trace(CBA)\ne trace(BAC) \end{gathered}$$
若$A_{n\times n}$是非奇异矩阵，则$rank(A)=n$，即A可以通过Gauss-Jordan方法变为单位阵
$$\begin{array}{rl}A& \stackrel{\text{Gauss-Jordan}}{}I\\ [\mathbf{A}\mid \mathbf{I}]& \stackrel{\text{Gauss}-\text{Jordan}}{}[\mathbf{I}\mid {\mathbf{A}}^{-1}]\end{array}$$

等价矩阵

若存在矩阵$PAQ=B$则称A与B是等价矩阵，其中$P,Q$为非奇异矩阵

若B由A矩阵可以经过行变换获得，则称B与A行等价，即
$$\mathbf{A}\stackrel{\mathrm{row}}{\sim }\mathbf{B}⟺\mathbf{PA}=\mathbf{B}\mathrm{for}\mathrm{a}\mathrm{nonsingular}\mathbf{P}$$
若B由A矩阵可以经过列变换获得，则称B与A列等价，即
$$\mathbf{A}\stackrel{\mathrm{col}}{\sim }\mathbf{B}⟺\mathbf{AQ}=\mathbf{B}\mathrm{for}\mathrm{a}\mathrm{nonsingular}\mathbf{Q}$$
若存在一个矩阵$A_{n\times m}$，其中$\text{rank}(A)=r$，则
$$\mathbf{A}\sim {\mathbf{N}}_r=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

LU分解

若存在下三角矩阵$L$与上三角矩阵$U$，其中$LU=A$，则被称为A的LU分解，其中U矩阵是高斯消元法的产物，L矩阵则对角线上是1，其中$l_{ij}$是被用于高斯消元法中消去$(i,j)$位置上的数字

若在LU分解中存在0主元则无法进行LU分解，则可以利用行交换来实现A的LU分解。即$PA=LU$

LU分解存在的条件

1. A必须是非奇异矩阵
2. 在约减成上三角矩阵时候，没有0主元