【数据结构＆C++】二叉平衡搜索树-AVL树（25）

前言

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一.AVL树的概念

• 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证 每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1 (需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
• 平衡因子是-1，左比右高1；平衡因子是1，右比左高1；平衡因子是0，左右一样高
• 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
  1. 它的左右子树都是AVL树
  2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
• 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
  $O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

二.AVL树节点的定义(代码演示)

• 除了基本的左右孩子节点与数据外，还需要引入平衡因子
• 由于平衡因子取决于左右子树相对高度，所以节点本身 要能够返回父亲节点 ——> 要设置指向父亲节点的指针
• 注意AVL树节点是三叉链

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
 AVLTreeNode(const T& data)
     : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
 , _data(data), _bf(0)
 {}
 
 AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
 AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
 AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的父亲节点
 
 T _data;
 int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

三.Avl树的基本操作：插入

• AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：
  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子

• AVL树的插入过程：
• 与二叉搜索树同理，二叉搜索树博客传送门：https://blog.csdn.net/YYDsis/article/details/134374001?spm=1001.2014.3001.5501

• 平衡因子的变化步骤：

1. 新增在左，parent平衡因子减减
2. 新增在右，parent平衡因子加加
3. 平衡因子==0，高度不变，直接break
4. 平衡因子==1/-1，高度改变-> 会影响祖先 -> 需要继续沿着到根节点root的路径向上更新
5. 平衡因子==2/-2，高度改变＆ 树不再平衡 ->会影响祖先->需要对parent所在子树进行 旋转 操作，让其平衡 （旋转部分放在part4中详解）
6. 向上更新，直到根节点（根节点parent==0）

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

//1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

//2. 调整节点的平衡因子
		while (parent)//向上更新，直到根节点（根节点parent==0）
		{
			if (cur == parent->_left)// 1.新增在左，parent平衡因子减减
			{
				parent->_bf--;
			}
			else // if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;//2.新增在右，parent平衡因子加加
			}

			if (parent->_bf == 0)//3.平衡因子==0，高度不变，直接break
			{
				// 更新结束
				break;
			}
		      	//4.平衡因子==1/-1，高度改变-> 会影响祖先 -> 需要继续沿着到根节点root的路径向上更新
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				// 继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			         //平衡因子==2/-2，高度改变＆ 树不再平衡 ->会影响祖先->
			         //需要对parent所在子树进行 旋转 操作，让其平衡
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 子树不平衡了，需要旋转     （旋转部分为何这么设计放在part4中详解）
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}

				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

四.AVL树的核心操作：旋转

• 根据part3中avl树的基本操作"插入"，以下情况会出现旋转
• 平衡因子==2/-2，高度改变＆ 树不再平衡 ->会影响祖先->需要对parent所在子树进行 旋转 操作，让其平衡 （旋转部分放在part4中详解）
• 所以一共有四种情况分别如下图所示：
• 旋转要注意以下两点：
  1. 保持这颗树还是搜索树
  2. 变成平衡树＆降低其高度

【1】新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

• 分析：
• 如下图所示，新节点插入较高右子树的右侧时候，整体会发生“向左的单旋”

• 核心操作：
  cur->_right = parent;
  parent->_parent = cur;

• 代码展示：

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_right;
		Node* curleft = cur->_left;

		parent->_right = curleft;
		if (curleft)
		{
			curleft->_parent = parent;
		}

		cur->_left = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		parent->_parent = cur;


		if (parent == _root)
		{
			_root = cur;
			cur->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = cur;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = cur;

			}

			cur->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = cur->_bf = 0;
	}

【2】新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

【3】新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

【4】新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

五.AVL树的验证

1. 验证其为二叉搜索树

• 如果其通过 中序遍历 可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
• 节点的平衡因子是否计算正确

六.AVL树的性能＆引入红黑树

• AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
  样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操
  作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，
  有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数
  据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。 因此需要
  引入红黑树，传送门如下所示：

• 红黑树博客传送门：

七.AVL树的完整代码

#pragma once

#include
#include
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;  // balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		// ... 控制平衡
		// 更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else // if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				// 更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				// 继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 子树不平衡了，需要旋转
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}

				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}


		return true;
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		++_rotateCount;

		Node* cur = parent->_right;
		Node* curleft = cur->_left;

		parent->_right = curleft;
		if (curleft)
		{
			curleft->_parent = parent;
		}

		cur->_left = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		parent->_parent = cur;


		if (parent == _root)
		{
			_root = cur;
			cur->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = cur;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = cur;

			}

			cur->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = cur->_bf = 0;
	}


	void RotateR(Node* parent)
	{
		++_rotateCount;

		Node* cur = parent->_left;
		Node* curright = cur->_right;

		parent->_left = curright;
		if (curright)
			curright->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;
		cur->_right = parent;
		parent->_parent = cur;

		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = cur;
			cur->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = cur;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = cur;
			}

			cur->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = cur->_bf = 0;
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_right;
		Node* curleft = cur->_left;
		int bf = curleft->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			cur->_bf = 0;
			curleft->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			cur->_bf = 0;
			curleft->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			cur->_bf = 1;
			curleft->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_left;
		Node* curright = cur->_right;
		int bf = curright->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			cur->_bf = 0;
			curright->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			cur->_bf = 0;
			curright->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			cur->_bf = -1;
			curright->_bf = 0;
		}
	}

	int Height()
	{
		return Height(_root);
	}

	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	bool IsBalance()
	{
		return IsBalance(_root);
	}

	bool IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftHight = Height(root->_left);
		int rightHight = Height(root->_right);

		if (rightHight - leftHight != root->_bf)
		{
			cout << "平衡因子异常:" <<root->_kv.first<<"->"<< root->_bf << endl;
			return false;
		}

		return abs(rightHight - leftHight) < 2
			&& IsBalance(root->_left)
			&& IsBalance(root->_right);
	}

private:
	Node* _root = nullptr;

public:
	int _rotateCount = 0;
};