向量的点乘、叉乘和混合积(三重积)

一、三重矢积公式

\vec{\mathbf{a}}\vec{\mathbf{b}}\vec{\mathbf{c}}为三个向量,三重矢积公式

\left ( \vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}}\right )\times \vec{\mathbf{c}}=\left ( \vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{c}} \right )\vec{\mathbf{b}}-\left ( \vec{\mathbf{b}}\cdot \vec{\mathbf{c}} \right )\vec{\mathbf{a}}

\vec{\mathbf{a}}\times \left ( \vec{\mathbf{b}}\times \vec{\mathbf{c}}\right )=\left ( \vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{c}} \right )\vec{\mathbf{b}}-\left ( \vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}} \right )\vec{\mathbf{c}}

上述的两个公式也称为拉格朗日公式。 

三重矢积的公式有三个特性:

1) 两个分项都带有三个向量( \vec{\mathbf{a}}\vec{\mathbf{b}}\vec{\mathbf{c}});

2) 三重积一定是先做叉积的两向量之线性组合;

3) 中间的向量所带的系数一定为正(此处为向量\vec{\mathbf{b}})。

二、标量三重积

\left ( \vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}} \right )\cdot \vec{\mathbf{c}}=\vec{\mathbf{a}}\cdot \left ( \vec{\mathbf{b}}\times \vec{\mathbf{c}}\right )

特别的:\vec{\mathbf{a}}\cdot \left ( \vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{c}}\right )=0

三、叉乘

3.1 叉乘的性质

逆交换律:\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}}=-\left ( \vec{\mathbf{b}}\times \vec{\mathbf{a}} \right )

任意向量与自身的叉乘等于零向量:\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{a}}=\vec{\mathbf{0}}

 分配律:\vec{\mathbf{a}}\times \left (\vec{\mathbf{b}}+\vec{\mathbf{c}} \right )=\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}}+\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{c}}

3.2   在matlab中的表示

C = cross(A,B)

四、点乘

4.1 性质

交换律:\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=\vec{\mathbf{b}}\cdot \vec{\mathbf{a}}

分配律:\vec{\mathbf{a}}\cdot \left (\vec{\mathbf{b}}+\vec{\mathbf{c}} \right )=\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}+\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{c}}

4.2   在matlab中的表示

C = dot(A,B)

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