算法5A----计算几何

算法5A----计算几何

某个点是否在三角形内

• 正确且简洁

• 一种解法，发射射线，穿过次数是奇数次，但是求交过程是很复杂的

• 分而治之和减而治之都是reduction 简化或减化

  • 三角形是最简单的多边形了

  • 转换成3个问题

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  • 某一条边左右延长，注意是射线，分别是pq,qr,rp，分成两个半平面，点必须在它的左半平面

  • 其余两条同样如此

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  • 为什么只用判断3边的结果是相等的？

  • ccw的控制模式导致的是+++，反过来是cw（顺时针），结果是—

怎么判断一个点在某条射线的左侧

• 通过叉积算面积，由于有正负，所以可以区分，海伦公式
• 行列式
  • 正3条对角线的乘积-反三条对角线的乘积 得到的是平行四边形的面积，除以2就是三角形的面积

两条线段怎么判断相交

• 4个坐标
• 所谓的思维方式要循序渐进，要一环扣一环
• 异或操作 XOR 各有一个才是true ^
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位置判断

• 两条平行直线确定的条带
  • 切割成很多梯形
  • 任意给一个点，在哪个梯形中
• 两条正交的有向射线（射线上有一系列点）
  • 任意给一个点，在哪个四边形中

凸包

demo

• 桌子上有很多钉子
• 用一个橡皮筋撑开包住所有点，松开，就可以把其他钉子都包在里面
• 构成了一个convex hull 即凸包
• 二分类
  • 与橡皮筋接触的是蓝色 extreme points 极点，这样的点存在一条经过它的有向射线，所有的点都在它的一侧，另一侧是空
  • 不接触的是绿色 不具备这种分割属性 进一步就是存在三个点，可以把这个点包住，但是算法复杂度是O(n^4)
• 极边 extreme points
  • 相邻极点连接成的边，也具备所有点在极边的一侧，另一侧为空，算法复杂度是O(n^3)

Jarvis march : selectionsort

• 选择排序，后缀有序，前缀无序
• 每一步可以持续找到一个解

gift wrapper algorithm

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• 从某一个极点出发，与其他所有点出发做射线，依次做toLeft测试，直到停止，这就找到了下一个与它相连的极点，

• 上面的步骤只用遍历依次，然后外面嵌套一层遍历，总体的时间复杂度是O(n^2)的

• 上面这个方法的前提是有第一个极点？

• 建立坐标系，X轴最大最小，或者y轴最大最小，习惯上一般取y轴最小

• 缺陷：有可能是两个相等的点

  • 找到最左边的点 Lowest then left -> LTL

插入排序

• 前缀有序，后缀无序

模仿这个思路

• 已经构成了一个凸包，加入一个点，判断是否可以继续作为极点，继续撑大这个凸包
  • 增加一个极点
  • 不是极点，不增加
  • 增加一个极点，封杀掉若干个原先的极点（原先是极点，变成非极点）

如何判断一个点是否在当前凸包的内侧还是外侧

• 分而治之

• 找到一个极点，找到它的前驱节点和后驱节点，分别做两条射线

• 然后与其他极点相连，构成了若干个三角形，然后做二分查找，左边或者右边

• 一直找到，除基准极点后，只存在一条及边时，判断点是在极边的内侧还是外侧

  • 在内侧，不增加

  • 在外侧 support/tangent

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    • [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-VKz1Nchg-1602634390565)(C:\Users\liusiping\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20201014080012933.png)]

    • 找到LL RR ，区分阴面和阳面

fruit ninja

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• 一刀切尽可能多的水果

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• 如果存在最大，上端点都在切刀线之上，下端点都在切刀线之下

• separation theorem 分割 compact 紧 unbound open (更严谨的凸包)

• 求出上端点的凸包（点多了之后，有的点不是极点），通过最左最右极点，可以分割出下凸和上凸

• 判断上端点凸包的下凸和下断点凸包的上凸没有交点？