存在性问题出现在数学的每一个分支中,前面的各节中都出现过.这里专门用一节来讨论数列中的存在性问题是希望起到强调的作用,引起重视,并以例题的形式讨论一些处理此类问题的方法.
2022-02-10-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 先猜后证 P089 例01）
设、是两个大于2的整数.证明:存在正整数及由正整数组成的有穷数列,使得,,而对,都有
证明我们用“”表示正整数、可以用上述数列连接,那么“若成立,则亦成立”.
一个自然的想法是证明:任意两个相邻正整数(都大于2)之间是“可达”的.利用下面的两个结论可达此目的.
结论1对任意,,都有.
下面的数列表明结论1成立.
结论2对任意,,都有.
利用数列
结合结论1知,而是的约数.故结论2成立.
对大于2的整数、,不妨设,如果,那么利用可知命题成立;如果,那么利用可知命题亦成立.
说明解决的关键是对结论1和结论2的直接构造,这是处理存在性问题的最自然的思路.
2022-02-10-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 先猜后证 P090 例02）
设.问:是否存在一个次的整系数多项式,使得对任意,由下述方式定义的数列中任意两项互素:,,?
解
当时,不存在这样的多项式.
事实上,如果存在符合要求,不妨设.那么对有
此结论可通过对归纳得到.
若,则对任意大于1的正整数,由可知数列中每一项都是的倍数,从而没有两项是互素的.
若,由于为正整数,知存在,使得,记,我们取为的素因子,则对应于这个的是的倍数,由知,故也是的约数,导致与不互素.
所以,在时,不存在符合要求的整系数多项式.
下证:当时,都存在这样的多项式.
我们证明:当时,对任意,相应的数列中任意两项都互素.
注意到,对任意,有
而且
依此结合数学归纳法可知,对任意正整数,都有.所以,数列中任意两项都互素.
综上可知,当时,不存在;而时,都存在.
说明对的情形,任取一个次的整系数多项式,令,仿上可证:对,相应的数列中任意两项互素.
2022-02-10-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 先猜后证 P091 例03）
设为一个给定的实数,满足.数列定义如下:若正整数的二进制表示是,这里.则.证明:存在无穷多个正整数,使得不存在正整数,满足.
证明
对,设二进制表示,我们证明不存在,使得.
事实上,对这样的,有
如果存在,使得,设的二进制表示为,,,则.
(1)若,则,这时,如果,那么(因为,有),矛盾.如果,那么或,亦矛盾.
(2)设时,可以推出矛盾,考虑的情形.
若,则,矛盾.
若,则,矛盾.
上述推导中,都用到.
所以,这时,记,进而,有,于是,由知
与归纳假设不符.
综上可知,命题成立.