【算法】归并排序

算法-归并排序

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前置知识

• 递归
• 分治

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思路

我们现在有一个序列，怎么对它排序？
这是一个非常经典的问题，这里我们使用一个经典的分治算法——归并排序解决。

这里有一个序列（为了便于分治，此处使用 $8$ 个元素），要对它升序排序
$$\begin{array}{cccccccc}3& 7& 1& 4& 5& 8& 6& 2\end{array}$$
利用分治的思想分为两个区间
$$\begin{array}{ccccccccc}3& 7& 1& 4& |& 5& 8& 6& 2\end{array}$$
一直分到底
$$\begin{array}{ccccccccccccccc}3& |& 7& |& 1& |& 4& |& 5& |& 8& |& 6& |& 2\end{array}$$
明显，现在每一个区间都已经排好序了。
我们知道，分治是把一个问题分成两个子问题求解，再将得到的结果组合为答案。
所以，最底层的子问题解决了，怎么进行合并？
下面我们以两个有序序列来演示归并排序的贪心合并。
$$\begin{array}{ccccccccc}1& 3& 4& 6& |& 2& 5& 7& 8\end{array}ans:$$
两边都是有序序列，所以答案序列的最小元素一定是两个序列最小元素中更小的那个。
$$\begin{gathered} 1<2\text{，先加入 1} \\ \begin{array}{cccccccc}3& 4& 6& |& 2& 5& 7& 8\end{array}ans:\begin{array}{c}1\end{array} \end{gathered}$$
这时两边仍是有序序列，所以重复操作
$$\begin{gathered} 3>2\text{，先加入 2} \\ \begin{array}{ccccccc}3& 4& 6& |& 5& 7& 8\end{array}ans:\begin{array}{cc}1& 2\end{array} \\ 3<5\text{，先加入 3} \\ \begin{array}{cccccc}4& 6& |& 5& 7& 8\end{array}ans:\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array} \\ 4<5\text{，先加入 4} \\ \begin{array}{ccccc}6& |& 5& 7& 8\end{array}ans:\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\end{array} \\ 6>5\text{，先加入 5} \\ \begin{array}{cccc}6& |& 7& 8\end{array}ans:\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\end{array} \\ 6<7\text{，先加入 6} \\ \begin{array}{ccc}|& 7& 8\end{array}ans:\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\end{array} \end{gathered}$$
此时左边的序列已经为空，那么说明右边序列剩下的都是最大的，所以依次加入答案序列
$$ans:\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\end{array}$$
这就是归并排序的贪心合并了。
使用这样的方法，我们继续前面的排序
$$\begin{gathered} \begin{array}{ccccccccccccccc}3& |& 7& |& 1& |& 4& |& 5& |& 8& |& 6& |& 2\end{array} \\ \begin{array}{ccccccccccc}3& 7& |& 1& 4& |& 5& 8& |& 2& 6\end{array} \\ \begin{array}{ccccccccc}1& 3& 4& 7& |& 2& 5& 6& 8\end{array} \\ \begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\end{array} \end{gathered}$$
排序成功！
归并排序学完了

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算法参数

• 平均时间复杂度：$O(n\log n)$
• 最好时间复杂度：$O(n\log n)$（常数小）
• 最坏时间复杂度：$O(n\log n)$（常数大）
• 空间复杂度：$O(n)$
• 排序稳定性：稳定

（非常稳）

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实现代码

• 递归写法

void MergeSort(int a[],int l,int r){//对[l,r]归并排序
	int tmp[];//辅助数组
	if (l==r) return;//单个元素特判
	int mid=(l+r)/2;
	MergeSort(a,l,mid),MergeSort(mid+1,r);//分治
	int i=l,j=mid+1,k=l;
	//贪心合并区间
	while (i<=mid&&j<=r)
		if (a[i]<=a[j]) tmp[k]=a[i],i++,k++;
		else tmp[k]=a[j],j++,k++;
	while (i<=mid) tmp[k]=a[i],k++,i++;
	while (j<=r) tmp[k]=a[j],k++,j++;
	for (int p=l;p<=r;p++) a[p]=tmp[p];//将tmp中的元素复制回a
}

• 迭代写法

void Merge(int a[],int l,int mid,int r){//合并区间
	int tmp[];//辅助数组
	int i=l,j=mid+1,k=l;
	//贪心合并区间
	while (i<=mid&&j<=r)
		if (a[i]<=a[j]) tmp[k]=a[i],i++,k++;
		else tmp[k]=a[j],j++,k++;
	while (i<=mid) tmp[k]=a[i],k++,i++;
	while (j<=r) tmp[k]=a[j],k++,j++;
	for (int p=l;p<=r;p++) a[p]=tmp[p];//将tmp中的元素复制回a
}
void MergeSort(int a[],int n){
	for (int i=1;i<n;i*=2){//子区间大小
		int s=i*2;//父区间大小
		for (int l=1,mid=i,r=s;mid<n;l+=s,mid+=s,r+=s)//枚举所有父区间
			Merge(a,l,mid,min(r,n));//合并区间
	}
}

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练习

• 洛谷P1177 【模板】排序
• 洛谷P1908 逆序对