【算法】插入排序

算法-插入排序

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前置知识

• C++入门
• 二分查找
• 链表

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思路

我们现在有一个序列，怎么对它排序？
这是一个非常经典的问题，这里我们使用一个经典的算法——插入排序解决。

这里有一个序列，要对它升序排序
$$\begin{array}{cccccc}3& 5& 1& 6& 4& 2\end{array}$$
我们把序列分为有序序列和无序序列。
这里，我们将无序序列用红色表示，有序序列用蓝色表示
很显然，这里的所以元素默认都是无序的，换句话说，所有元素都属于无序序列。
$$\begin{array}{cccccc}3& 5& 1& 6& 4& 2\end{array}$$
然后将无序序列开头元素插入有序序列中
$$\begin{array}{cccccc}3& 5& 1& 6& 4& 2\end{array}$$
重复以上操作
$$\begin{gathered} \begin{array}{cccccc}3& 5& 1& 6& 4& 2\end{array} \\ \begin{array}{cccccc}1& 3& 5& 6& 4& 2\end{array} \\ \begin{array}{cccccc}1& 3& 5& 6& 4& 2\end{array} \\ \begin{array}{cccccc}1& 3& 4& 5& 6& 2\end{array} \\ \begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\end{array} \end{gathered}$$
这就是插入排序！

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具体实现

插入排序有两种版本。

当我们使用数组实现的时候，可以使用二分查找优化达到 $O(\log n)$，但是插入的时候会达到 $O(n)$，导致时间复杂度达到 $O(n^2)$。所以不如使用线性查找来的好。

当我们使用数组实现的时候，可以将插入优化达到 $O(1)$，但是查找的时候不支持二分，会达到 $O(n)$，导致时间复杂度达到 $O(n^2)$。

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算法参数

数组版本：

• 平均时间复杂度：$O(n^2)$
• 最好时间复杂度：$O(n^2)$
• 最坏时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$
• 排序稳定性：稳定

链表版本：

• 平均时间复杂度：$O(n^2)$
• 最好时间复杂度：$O(n^2)$
• 最坏时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$
• 排序稳定性：稳定

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极端情况

对于数组版本，可以使用降序序列，链表版本反之，使用升序序列（仔细想一想为什么）。

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优化

无法优化

插入排序分为两个过程，查找和插入。
正如前文讲的，
查找可以使用二分查找降到 $O(\log n)$，但是会使得插入升到 $O(n)$；
插入可以使用链表维护降到 $O(1)$，但是会使得查找升到 $O(n)$。

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实现代码

• 数组版本

void InsertionSort(int a[],int n){//插入排序
    for (int i=2;i<=n;i++){
        int tmp=a[i],pos=i;//pos为指针
        while (pos-1&&a[pos-1]>tmp)
        	a[pos]=a[pos-1],pos--;
        a[pos]=tmp;//将a[i]移到pos处
    }
}

• 链表版本

void InsertionSort(int a[],int n){
	int h,r[100010];h=1;r[0]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        int pos=0;
        while (r[pos]&&a[r[pos]]<=a[i]) pos=r[pos];
        if (!pos) r[i]=h,h=i;
        else r[i]=r[pos],r[pos]=i;
    }
    int k=1,tmp[100010];
    for (int i=h;i;i=r[i]) tmp[k++]=a[i];
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=tmp[i];
}

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练习

• CSP-J 2021 插入排序