Jacobi 方法计算特征值特征向量

在求解协方差矩阵的特征值和特征向量时用到了Jacobi方法

原理

设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使

PTAP=⎡⎣⎢⎢λ1⋮0⋯⋱⋯0⋮λn⎤⎦⎥⎥=∧;

其中 ∧ 的对角线元素是A的n个特征值，正交阵 P 的第i列是A的对应于特征值 λi 的特征向量。
所以对于一个任意的n阶实对称矩阵A，只要能求得一个正交阵P，使 PTAP=∧ ，则可得到A的全部特征值和特征向量。

具体

我们选择旋转矩阵

P=[cosθsinθ−sinθcosθ]

P是正交矩阵，之前看的资料介绍了P是坐标的逆时针旋转，这样我就不明白 PTAP 的含义了，还不如不把它理解为旋转。。。。。
PTAP 只改变A的第i，j行和i，j列，可以计算出改变的值，程序实现时只要改变这些值就可以了。
P=P1P2..Pn 就是特征向量

程序

//雅克比方法求实对称矩阵的特征值和特征向量

#include 
#include
#include 
#define PI 3.1415926
using namespace std;

/**
/* Input：
a:待求解矩阵
p:初始化为0
n:矩阵维数
eps:迭代停止条件
T:最大迭代次数
Output:
a:对角线为特征值
p：a中的每个特征值对应的特征向量，每一列为一个向量
*/
bool Jacobi(double a[][3], double p[][3], int n,double eps,int T)
{
    int i, j, k;
    double max = a[0][1];
    int row = 0;
    int col = 0;
    double Ptemp[3][3];
    int ite_num = 0;
    for (i = 0; i < n; i++)
        p[i][i] = 1;
    while (1)
    {
        max = fabs(a[0][1]);
        row = 0;
        col = 1;
        for (i = 0; i < n; i++)
        for (j = 0; j < n; j++)
        if (i != j && fabs(a[i][j])>max)
        {
            max = fabs(a[i][j]);
            row = i;
            col = j;
        }
        if (max < eps)
        {
            cout << "max:" << max << endl;
            cout << "t:" << ite_num << endl;
            return true;
        }

        if (ite_num>T)
        {
            cout << "max:" << max << endl;
            cout << "t:" << ite_num << endl;
                return false;
        }

        double theta;
        if (a[row][row] == a[col][col])
            theta = PI / 4;
        else
            theta = 0.5*atan(2 * a[row][col] / (a[row][row] - a[col][col]));
        double aii = a[row][row];
        double ajj = a[col][col];
        double aij = a[row][col];
        double sin_theta = sin(theta);
        double cos_theta = cos(theta);
        double sin_2theta = sin(2 * theta);
        double cos_2theta = cos(2 * theta);
        a[row][row] = aii*cos_theta*cos_theta + ajj*sin_theta*sin_theta + aij*sin_2theta;
        a[col][col] = aii*sin_theta*sin_theta + ajj*cos_theta*cos_theta - aij*sin_2theta;
        a[row][col] = 0.5*(ajj - aii)*sin_2theta + aij*cos_2theta;
        a[col][row] = a[row][col];
        for (k = 0; k < n; k++)
        {
            if (k != row && k != col)
            {
                double arowk = a[row][k];
                double acolk = a[col][k];
                a[row][k] = arowk * cos_theta + acolk * sin_theta;
                a[k][row] = a[row][k];
                a[col][k] = acolk * cos_theta - arowk * sin_theta;
                a[k][col] = a[col][k];
            }
        }
        if (ite_num == 0)
        {
            p[row][row] = cos_theta;
            p[row][col] = -sin_theta;
            p[col][row] = sin_theta;
            p[col][col] = cos_theta;
        }
        else
        {
            for (k = 0; k < n; k++)
            {
                double pki = p[k][row];
                double pkj = p[k][col];
                p[k][row] = pki*cos_theta + pkj*sin_theta;
                p[k][col] = pkj*cos_theta - pki*sin_theta;
            }
        }
        ite_num++;
    }    
}

void main()
{
    double a[3][3] = { 2, -1, 0, -1, 2, -1, 0, -1, 2 };
    int n = 3;
    double eps = 1e-10;
    int T = 10000;
    double p[3][3] = { 0 };
    bool re = Jacobi(a, p, n, eps, T);
    if (re)
    {
        cout << "a:" << endl;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < n; j++)
                cout << setw(15) << a[i][j];
            cout << endl;
        }
        cout << "p:" << endl;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < n; j++)
                cout << setw(15) << p[i][j];
            cout << endl;
        }

    }

    else
        cout << "false" << endl;
}