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SVM

Profile

FullName: Support Vector Machine

vs Logistic Regression

Logistic Regression




Logistic回归的决策边界可以使得向量的范数尽可能小,即尽可能保证阳性事件的预测概率尽可能大,阴性事件的预测概率尽可能小

Support Vector Machine

hard-margin:找到一个超平面f(θ),使这个超平面两边的最近的两个点(Support Vector)与这个超平面的距离(margin/2)最远,f(θ)作为分类边界,并且不允许有点落在margin区域内

soft-margin:允许部分向量落在margin区域或者margin对岸,并将这些点距离margin的距离作为损失函数的一部分.

svm的数学表达

hard-margin-SVM



设 margin = 2d
=>=>



soft-margin-SVM

允许部分点越过支撑向量,越过的部分会作为损失函数的一部分,最优值问题转化为

以上模型成为L1正则,L2正则目标表达式为

Kernel Function(核函数,Kernel Check)

SVM可以视为求解

的最优化问题,这个问题可以等价于它的对偶问题

有时分类边界是非线性的,需要对x,y进行某种变形

目标问题可转化为

多项式核函数

最高系数为2的多项式核函数为例,
K(x,y)=(x·y+1)^2=(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i+1)^2\\=\sum_{i=1}^{n}(x_i^2)(y_i^2)+\sum_{i=2}^{n}\sum_{j=1}^{i-1}(\sqrt2x_ix_j)(\sqrt2y_iy_j)+\sum_{i=1}^{n}(\sqrt2x_i)(\sqrt2y_i)+1=x'·y'\qquad(3)\\ 其中x'=(x_n^2,...,x_1^2,\sqrt2x_nx_{n-1},...,\sqrt2x_n,...,\sqrt2x_1,1),\\y'=(y_n^2,...,y_1^2,\sqrt2y_ny_{n-1},...,\sqrt2y_n,...,\sqrt2y_1,1)
(3)带入(2)可得

将二次核函数推广到一般情况,

特别地,当c=0,d=1时候,多项式核函数可称为线性核函数

多项式核函数可以认为是向量点乘推广到更一般的形式

高斯核函数


又称RBF核(Radial Basis Function Kernel),形态如下

其中y是每一个数据点,即每一个数据点都作为landmark
由于和高斯分布的形态一致,所以得名高斯核函数
高斯核函数可以将一个m*n的样本映射为一个m*m的样本,是一种维度拓展的方法
越大,高斯分布越窄,越容易过拟合
越小,高斯分布越宽,越容易欠拟合
可以认为和模型复杂度正相关

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