枚举算法

1. 枚举算法

设计步骤：

1. 确定枚举对象（即问题解的表达形式，一般需要用若干参数来描述）
2. 逐一列举可能（根据枚举对象的参数构造循环，一一列举其表达式的每一种取值情况）
3. 逐一验证可能解（ 根据问题解的要求，验证枚举对象表达式的每一个取值，如果满足条件，则采纳它，否则抛弃之。）

这里注意：①对象不能重复，不能遗漏；

                  ② 每个参数要相互独立，这个时候算法才能简洁；每个参数的取值范围要搞清楚，尽可能小。

2. 实际例子1

 解答

1. 确定对象：对象就是解的表达式，用一个参数x表示；x的范围是（0~9）
2. 逐一列举对象：用 x 确定的循环来一一列举可能的解
3. 逐一验证可能的解，只有满足验证条件才能确定 x 的取值。

解答：

1. 确定对象：这个可能的对象是有两个参数组成的，i，j ( i 的范围是[1-9]  , j 的范围是[0--9] )
2. 逐一列举循环：由于这里有两个参数，那必定要用到两层循环，一个以 i ，一个以  j。
3. 逐一验证这些枚举的个体，满足条件的才可以取值。

当这里的三个数字都看不见的时候：

解答：

1. 问题对象，这三个参数，其实可以看成是一个参数；x 取值100~999；这样参数减少了，代码易读；
2. 逐一枚举，利用 x 的取值范围构成循环；但是这里三个参数看成是一个参数并没有减少复杂度
3. 逐一进行验证，取满足条件的值

3.实际例子二

公鸡：5元一只

母鸡：3元一只

小鸡：1元三只

问：m 元买 n 只鸡有几种方案?

枚举算法解答：

1. 问题对象（即解的表达式：公鸡，母鸡，小鸡数量分别是：n1,n2,n3；范围都是0~n
2. 逐一列举对象：可想而知，要列出三层循环~
3. 验证每个个体是否满足 n1+ n2+ n3==n, 5n1+ 3n2+ n3 /3 ==m

但是：很明显，n1,n2,n3不是相互独立的，这里的n1+ n2+ n3==n,可以代替一个变量，从而变成两层循环。

4.实际例子三

从数组 A 中选出两个数，这两个数的和是 k 的倍数，问有几种方案？

枚举算法分析：

1. 选择对象 对象就是解的表达形式，设 i j 为选出的两个数；范围是（ i   0~n ；  j   i+1 ~ n )
2. 一一枚举对象：利用上面的范围去做两层循环。
3. 验证每一个枚举个体 (a + b)%k = 0

但是上面的算法复杂度达到了O(n^2);

如果要优化的话：① 从数学模型层面 ② 从算法实现的层面

本题就是用到了数学上的解析关系：（a + b）% k = 0  == (a%k +b%k) % k = 0

1. 将数组的每一个元素 % k 得到的余数存入 这样几个盒子：
2. 

二分枚举

5.实际例子五

解题思路：（二分枚举算法）

1. 选择对象（即解的表达形式，设长度最长是 d ,d 的范围是 （0.01--10000））
2. 二分枚举（ d = d / 2.0）
3. 验证 li / d = ki             if sum(ki) == k 结束  else 返回第二步

有关子序列的枚举算法

6. 实际例子六

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

这道题如果用枚举算法：对于任何一个子序列，左端 i  （0-n）右端  j ( i<=j <=n)

算法最里层还要计算 这个下标为（i,j）的连续子序列的和；故算法的时间复杂度是O（n^3）

 

 

 

这门课中还例举了其他例子，这里将等到课程块结束时，填上另外的例子和全部代码。