一、基本概念

文章内容来自于中国大学mooc的浙江大学的数据结构课程上课内容，以下为本人自己听课整理。

1.1什么是数据结构

没有官方的定义，"数据结构是ADT(抽象数据类型Abstract Data Type)的物理实现"——Clifford A.Shaffer
精心选择的数据结构可以带来最有效率的算法。

例1、如何在书架上摆放图书

这个问题的关键在于两个操作：1、怎么插入。2、怎么找

• 方法一：随便放，插入简单，但是寻找麻烦。
• 方法二：按书名的拼音字母顺序排放。
  查找时采用二分查找，比较简单，但是插入时，每插入一个新的，它后面的全部都得往后移一位，很麻烦。
• 方法三：把书架划分为几块区域，每块区域指定摆放某种类别的图书；在某种类别内，按照书名的拼音字母顺序摆放。
  操作：先定类别，再二分查找
• 问题：空间如何分配？类别应该分多细？

“解决问题方法的效率跟数据的组织方式有关”

例2、写程序实现一个函数PrintN，使得传入一个正整数为N的参数后，能顺序打印从1到N的全部正整数。

循环实现：

def PrintN(N):
  for i in range(1,N+1):
    print(i)

递归实现：

def Print(N):
  PrintN(N-1)
  print(N)

第二段看着很简洁，漂亮，但是计算机并不喜欢这样的东西，当N很大的时候，内存迟迟得不到释放，就会爆炸。

解决问题方法效率，跟空间效率有关

例3、写程序计算给定多项式在给定点x处的值

秦九韶算法比一般的逐项次方相加要快的多

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所以，到底什么是数据结构？

• 数据对象在计算机中的组织方式：
  包括逻辑结构和物理存储结构
• 例1中方法二代表的是线性结构，方法三代表的是树结构，而如果想要记录哪些人买了同一本书，一个人买了哪些书，则要用到图结构。
• 数据对象必定与一系列加在其上的操作相关联
  完成这些操作所用的方法就是算法

如何描述数据结构

抽象的数据类型(Abstract Data Type)

数据类型

• 数据对象集
• 数据集合相关联的操作集

抽象：描述数据类型的方法不依赖于具体实现

• 与存放数据机器无关
• 与数据存储物理结构无关
• 与实现操作的算法和编程语言无关

例4、“矩阵”的抽象数据类型定义

类型名称：矩阵(Matrix)
数据对象集：一个矩阵由个三元组组成，其中是矩阵元素的值，是元素所在的行号，是元素所在的列号。
操作集：矩阵的生成、相加、相乘

1.2什么是算法

算法(Algorithm)

• 一个有限指令集
• 接受一些输入(有些情况下不需要输入)
• 产生输出
• 一定在有限步骤之后停止
• 每一条指令必须
  ①有充分明确的目标，不可以有歧义
  ②计算机能处理的范围之内
  ③描述应不依赖于任何一种计算机语言以及具体实现手段

什么是好的算法

• 空间复杂度——占用存储单元的长度
• 时间复杂度——耗费时间的长度
  例2中递归调用
  例3一般逐项相加（乘法耗时比加减法多得多，所以在计算复杂度时一般数乘法数量）

在分析一般算法的效率时，我们经常关注下面两种复杂度：

• 最坏情况复杂度
  *平均复杂度

复杂度的渐进表示法

• 表示存在常数使得当时有
• 表示存在常数使得当时有
• 表示存在常数使得当时有

复杂度分析小窍门

• 若两段算法分别有复杂度和则
  
  
• 若是关于的阶多项式，那么
• 一个循环的时间复杂度等于循环次数乘以循环体代码的复杂度
• 结构的复杂度取决于的条件判断复杂度和两个分支部分的复杂度，总体复杂度取三者最大。

1.3应用实例：

最大子列问题

问题描述

给定N个整数的序列求函数的最大值

算法一

直接三重循环，选头，再选尾，再从头加到尾。

算法二

优化了从头加到尾的环节，没有必要这样，尾在向后移动时，只需在和中多加一项即可。

def max(A):
  MaxSum=ThisSum=0
  for i in range(0,N):
    ThisSum=0
    for j in range(i,N):
      ThisSum+=A[j]
      if (ThisSum>MaxSum):
        MaxSum=ThisSum
  return MaxSum

此时

算法三

作为一个程序猿(假装是),看到复杂度，应该本能想到能否再降。此处采用分而治之的思想来解决这个问题：

• 用二分法，分别找出左边右边和横跨分割线的部分和的最大值
• 从单个，到2个到4个最后比较里面的最大值
  递归算法复杂度分析：
  
  
  
  
  

算法四

在线处理：

def Max4(A,N):
  ThisSum=MaxSum=0
  for i in range(0,N):
    ThisSum+=A[i]
    if(ThisSum>MaxSum):
      MaxSum=ThisSum
    elif(ThisSum<0):
    ThisSum=0
  return MaxSum

这个算法将复杂度直接降到但是降低了正确性的判断，对于不懂其中数学机理的人，这个代码是否正确是相当难以判断的。