《九章算术》中记载的方程是如何算的?

《九章算术》是我国古代一部重要的算学书籍,成书于公元一世纪左右,原作者是谁已经不可考,西汉时,张苍和耿寿昌曾对其做过整理。
到了三国时期,数学家刘徽又为其作了注,也是如今通行的版本。
《九章算术》中记载了许多实际应用中设计的数学问题,比如方田篇、粟米篇等,一望而知,这都是和古代生产息息相关的问题。
其中第八章,便是方程问题。
《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第1张图片
方程这一章,开篇第一题,就是一个三元一次方程的应用题,题目中以“禾”为例,禾也就是稻谷,题目是计算三种规格的稻谷各有多少的问题?
因为这个题目比较有代表性,而且,题目后面紧接着就给出了答案和计算方法。
将图片中的题目大致翻译一下就是:
今有上、中、下三种规格的稻谷,已知上等稻3把、中等稻2把、下等稻1把,能得到稻谷39斗,上等稻2把、中等稻3把、下等稻1把,能得到稻谷34斗,上等稻1把、中等稻2把、下等稻3把,能得到稻谷26斗,求,上等稻一把、中等稻一把、下等稻一把,各有多少稻谷?

是不是很典型的三元一次方程,放到今天,初中生应该很容易就做出来了。
先设未知数x、y、z,代表上、中、下三种稻,然后列方程式:
3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26
然后利用消元法,一个个求就行了。
那么,《九章算术》里是怎么解这个方程的呢?
《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第2张图片
上图中,红线框内的,即是古人的方程术,大家可以看一下,能不能看得懂?
我们试着按照古人的方法,来一步步走,看看是不是解出来:
第一步:列出方程式

置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗,於右方。中、左禾列如右方。

我们现在解方程首先要列方程式,《九章算术》里也是。只不过我们现在习惯从上到下列,古人是从右到左:
《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第3张图片
第二步:消元计算(三元变两元)

以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次,亦以直除。

其实,《九章算术》里也是采用的消元方法, 但是和我们常用的有些不同。
上面的文字翻译过来就是:将右边的最上面的数字,作为乘数,乘以中间的所有数字,然后用中间的数字,对应减去右边的数,直到中间这一行最上面的变成0.
过程如下:
中间行先乘:
《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第4张图片
中间行再减:
《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第5张图片
中间这一行就完成了,然后接着算左边这一行的。同样的步骤:
左边行先乘:
《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第6张图片

左边行再减:

《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第7张图片
第二步就计算完成。

第三步:再次消元(两元变一元)

然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。

翻译:将中间这一行的中禾对应的系数,也就是5,乘以左边这一行的所有数,然后用左边的减中间的对应数,直到左边的上禾为0.
过程:
先乘:
《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第8张图片
再减:(减了4次)
《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第9张图片
可以看到,到这一步结束,左边的这一行中,已经消去了两个元,只剩下下禾,那么其实也就得出了下禾的值。

第四步:

左方下禾不盡者,上為法,下為實。實即下禾之實。求中禾,以法乘中行下實,而除下禾之實。餘如中禾秉數而一,即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實,而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一,即上禾之實。實皆如法,各得一斗。

这一步就是开始求下禾、中禾、上禾的具体值了。
翻译:经过2、3步的消元,左边这一行只剩下了“下禾”一个未知数,根据方程,可得到36*下禾=99,解出下禾=99/36=11/4.
那么下禾的值就是四分之十一斗,也就是2斗四分之三。
下禾求出来,相应就可以求中行了。如果用现在的方法,直接将下禾的值代入中间行,直接就算出中禾,继而将下禾、中禾代入右边行,求出上禾。
但九章算术里不是这样算的,而是依旧用先乘再减的方法:
过程:
《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第10张图片
上图中,下禾的4就是法,要求中禾,先将中间这一行的数,乘以4,得到:
《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第11张图片
再用中间行的数减去左边行的对应数,得到:

《九章算术》中记载的方程是如何算的?_第12张图片
我们看到,中间这一行现在也只剩下中禾一个未知数了,可得20*中禾=85,中禾=85/20=17/4,中禾就是四分之十七斗,4斗四分之一。

上禾的求法是一样的,先消下禾,再消中禾,余下就是上禾,可得上禾为四分之三十七,9斗四分之一。

上面就是《九章算术》解三元一次方程的方法,基本上和今天的方法类似,只不过文字描述显得有些繁琐,如果古代能够总结出公式,那么对于中国数学的发展,肯定会更加大的贡献。

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