《九章算术》中记载的方程是如何算的？

《九章算术》是我国古代一部重要的算学书籍，成书于公元一世纪左右，原作者是谁已经不可考，西汉时，张苍和耿寿昌曾对其做过整理。
到了三国时期，数学家刘徽又为其作了注，也是如今通行的版本。
《九章算术》中记载了许多实际应用中设计的数学问题，比如方田篇、粟米篇等，一望而知，这都是和古代生产息息相关的问题。
其中第八章，便是方程问题。

方程这一章，开篇第一题，就是一个三元一次方程的应用题，题目中以“禾”为例，禾也就是稻谷，题目是计算三种规格的稻谷各有多少的问题？
因为这个题目比较有代表性，而且，题目后面紧接着就给出了答案和计算方法。
将图片中的题目大致翻译一下就是：
今有上、中、下三种规格的稻谷，已知上等稻3把、中等稻2把、下等稻1把，能得到稻谷39斗，上等稻2把、中等稻3把、下等稻1把，能得到稻谷34斗，上等稻1把、中等稻2把、下等稻3把，能得到稻谷26斗，求，上等稻一把、中等稻一把、下等稻一把，各有多少稻谷？

是不是很典型的三元一次方程，放到今天，初中生应该很容易就做出来了。
先设未知数x、y、z,代表上、中、下三种稻，然后列方程式：
3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26
然后利用消元法，一个个求就行了。
那么，《九章算术》里是怎么解这个方程的呢？

上图中，红线框内的，即是古人的方程术，大家可以看一下，能不能看得懂?
我们试着按照古人的方法，来一步步走，看看是不是解出来：
第一步：列出方程式

置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。

我们现在解方程首先要列方程式，《九章算术》里也是。只不过我们现在习惯从上到下列，古人是从右到左：

第二步：消元计算（三元变两元）

以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。

其实，《九章算术》里也是采用的消元方法， 但是和我们常用的有些不同。
上面的文字翻译过来就是：将右边的最上面的数字，作为乘数，乘以中间的所有数字，然后用中间的数字，对应减去右边的数，直到中间这一行最上面的变成0.
过程如下：
中间行先乘：

中间行再减：

中间这一行就完成了，然后接着算左边这一行的。同样的步骤：
左边行先乘：

左边行再减：

第二步就计算完成。

第三步：再次消元（两元变一元）

然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。

翻译：将中间这一行的中禾对应的系数，也就是5，乘以左边这一行的所有数，然后用左边的减中间的对应数，直到左边的上禾为0.
过程：
先乘：

再减：（减了4次）

可以看到，到这一步结束，左边的这一行中，已经消去了两个元，只剩下下禾，那么其实也就得出了下禾的值。

第四步：

左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

这一步就是开始求下禾、中禾、上禾的具体值了。
翻译：经过2、3步的消元，左边这一行只剩下了“下禾”一个未知数，根据方程，可得到36*下禾=99，解出下禾=99/36=11/4.
那么下禾的值就是四分之十一斗，也就是2斗四分之三。
下禾求出来，相应就可以求中行了。如果用现在的方法，直接将下禾的值代入中间行，直接就算出中禾，继而将下禾、中禾代入右边行，求出上禾。
但九章算术里不是这样算的，而是依旧用先乘再减的方法：
过程：

上图中，下禾的4就是法，要求中禾，先将中间这一行的数，乘以4，得到：

再用中间行的数减去左边行的对应数，得到：

我们看到，中间这一行现在也只剩下中禾一个未知数了，可得20*中禾=85，中禾=85/20=17/4，中禾就是四分之十七斗，4斗四分之一。

上禾的求法是一样的，先消下禾，再消中禾，余下就是上禾，可得上禾为四分之三十七，9斗四分之一。

上面就是《九章算术》解三元一次方程的方法，基本上和今天的方法类似，只不过文字描述显得有些繁琐，如果古代能够总结出公式，那么对于中国数学的发展，肯定会更加大的贡献。