dfs序和欧拉序构造方法及常用性质

背景：有个题解需要介绍下这两者的性质，这里就顺便写了个总结了
核心：将树上问题转化成区间问题

欧拉序

欧拉序，有2*n或2*n-1个编号
dfs序，有n个编号

（2021年8月30日21点27分）upd：更新下面的第二种叫法为 欧拉环游序
欧拉序，我理解的有两种搞法（可能叫法有误，思想就是那个思想 ）

• 进入节点记录，遍历完所有子节点后，出节点时，当前时间戳记录
• 进入节点记录，遍历子节点的时候，返回到本节点时记录

具体代码体现为
$dfn[x]$ 记录的是，$x$节点的时间戳

$sa[y]$记录的是，时间戳为 $y$ 的是哪个节点（也就是“谁”的意思）
第一种

void dfs(int u) {
	sa[++tim] = u;
	dfn[u] = tim;
	for (son...) dfs(son);
	
	sa[++tim] = u;
}

第二种

void dfs(int u) {
	sa[++tim] = u;
	dfn[u] = tim;
	for (son...) {
		dfs(son);
		sa[++tim] = u;
	}
}

这两者之间在处理树上问题时有不同的性质
例如有一棵树为

1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7

这里时间戳$dfn$，指的是第一次进入节点的时间
第一种欧拉序可以为,2*N

欧拉序：1 2 4 4 5 5 2 3 6 6 7 7 3 1
时间戳：1 2 3 3 5 5 2 8 9 9 11 11 8 1

第二种为,2*N-1

欧拉序：1 2 4 2 5 2 1 3 6 3 7 3 1
时间戳：1 2 3 2 5 2 1 8 9 8 11 8 1

第一种的性质：

• 树上任意一点 $x$ 的子树，在第一次出现$x$和最后一个 $x$之间的所有出现的数，另外有个性质是这些出现次数和为偶数
  举例：2 的子树，截取为2 4 4 5 5 2中的4 4 5 5，自行尝试一下其它的子树
• 树上任意两点$x$和$y$，路径上的点，为最后一个$x$到第一个 $y$之间，出现奇数次的数。另外再加上lca(最近公共祖先)
  举例：4 到 7 的树上路径
  截取为4 5 5 2 3 6 6 7,出现奇数次的数字4 2 3 7，加上lca，树上路径的节点最终为4 2 1 3 7
• 通常将树上的问题，转化为区间问题求解，比如树上莫队，求解树链上不同数字的个数等等

第二种的性质：

• 树上任意一点的子树为，第一次出现 $x$ 和 最后一个$x$之间出现了的所有数，除去本节点的数
  举例：2的子树，截取为2 4 2 5 2，除去本节点为4 5
• 树上任意两点$x$和$y$，两点的 $lca$，为第一次出现$x$和第一次出现$y$区间内，时间戳最小的那个值
  举例：4到7的lca，截取为4 2 5 2 1 3 6 3 7，注意，这里的时间戳，指的是第一次进入节点的时间
  按照截取的数字，给出时间戳为
  3 2 5 2 1 8 9 8 11，时间戳最小的为1时刻，那么去找1时刻的那个点是谁，也就是欧拉序第1个位置的那个点，lca就是节点1
• 通常用作求 lca，结合ST表，在$O(1)$时间内求解 $lca$，适合在频繁求解$lca$的场景

dfs序

仅进入节点的时候记录
代码体现为

void dfs(int u) {
	sa[++tim] = u;
	dfn[u] = tim;
	for (son...) dfs(son);
}

d f s序：1 2 4 5 3 6 7
时间戳：1 2 3 4 5 6 7

性质：

• 树上任意点 $x$ 的子树（包含$x$）为，当前第一次出现$x$的位置到往后 $sz[x]$ 个节点的区间，$sz[x]$表示 $dfs$ 时计算的 以$x$为根 的树大小，假设$sz[x]$包含了$x$
  举例：
  $2$ 的子树，$sz[2]=3$
  那么截取为，2 4 5，如果要不包含$x$，取$x$往后，区间大小为$sz[x]-1$即可，也就是4 5
• 树上两点 $x$ 和 $y$ 的 $lca$，需要配合链剖分，将树链变成一块块连续的序列，跳$top$求解，这里不细说，但是却是比较重要常用的一部分，详细可以找找树链剖分的板子题康康
• 通常结合树剖等等进行维护树上链上的信息，比如，给某条链全部节点加上1，求解最大最小值等等