近世代数理论基础23：分式域

分式域

设K是域,是环,且,称K中包含D的最小的域为由D生成的域,记作,则

令,若L为K的任一子域,,显然有,特别地

易证本身构成域K的一个子域,且,由的定义,

故

又若是一个交换环,且,则存在域K包含D,由D中的零因子一定是K中的零因子,且域是无零因子环,故域K存在的必要条件为D是无零因子环

在所有包含D的域中,由D生成的域是同构的,称这样的域为环D的分式域

定理：设D是交换的无零因子环,则存在域K包含D

证明：

分式域

定义：给定域Q,若Q包含一个整环D,且Q刚好由所有形如的元所成,则称Q为D的分式域

构造整环D的分式域的方法

假设在域F中包含一个子环D,它包含F的单位元,由F中无零因子,故D一定是一个整环

当时,一定是F中的元

又若,则显然有

,有

可见F一定包含D的分式域

定理：一个整环D的分式域Q是包含D的最小域

注：交换的无零因子环也存在分式域,即不要求该环有单位元