前缀和——238. 除自身以外数组的乘积

1. 题目

题目链接：238. 除自身以外数组的乘积 - 力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 nums，返回 数组 answer ，其中 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积 。

题目数据 保证 数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内。

请 不要使用除法， 且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

示例 1:

输入: nums = [1,2,3,4]
输出: [24,12,8,6]

示例 2:

输入: nums = [-1,1,0,-3,3]
输出: [0,0,9,0,0]

提示：

• 2 <= nums.length <= 105
• -30 <= nums[i] <= 30
• 保证 数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内

进阶： 你可以在 O(1) 的额外空间复杂度内完成这个题目吗？（ 出于对空间复杂度分析的目的，输出数组 不被视为 额外空间。）

2. 算法原理

本题的意思是，要求出除了当前下标位置，其他位置的乘积

解法一：暴力求解

暴力求解就是遍历整个数组，然后再遍历一次除了当前位置的其他位置元素乘积，整个的时间复杂度为O(n²)

解法二：前缀和（积）

这里求除了当前位置的整个数组的乘积，可以理解为求前面一部的前缀积+后面一部分的后缀积

预处理：

• f表示前缀积，f[i]表示[0,i-1]区间内所有元素的乘积f[i] = f[i-1] * nums[i-1]
• g表示后缀积，g[i]表示[i+1,n-1]区间内所有元素的乘积g[i] = g[i+1] * nums[i+1]

这里因为f[i]的区间是[0,i-1]，所以这里的i，实际上是i-1

使用预处理之后的数组：

有了预处理的数组，我们只需让f[i]*g[i]即可求出当前位置的值

细节问题：

这里因为要求的是乘积，所以f[0]这里要提前处理一下，f[0] = 1；同理g[n-1] = 1。
f是从前往后，g是从后往前

这个时间复杂度为O(n)+O(n)+O(n)，可理解为O(n)

这里进阶是空间复杂度为O(1)求解，采用的也是前缀积和后缀积，用ret先装前缀积，然后从后往前乘以后缀积。
我们前面采用2个数组装前缀积和后缀积，可以理解得更清晰一些。

3. 代码实现

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums)
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n) , g(n);
        
        //预处理前缀积
        f[0] = 1;
        g[n-1] = 1;
        for(int i=1;i<n;i++)
            f[i] = f[i-1] * nums[i-1];
        //预处理后缀积
        for(int i=n-2;i>=0;i--)
            g[i] = g[i+1] * nums[i+1];
        
        vector<int> ret(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            ret[i]=f[i]*g[i];
        return ret;
    }
};

优化空间复杂度：

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums)
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> ret(n,1);

        int left = 1;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            left *= nums[i-1];
            ret[i] = left;
        }

        int right = 1;
        for(int i=n-2;i>=0;i--)
        {
            right*=nums[i+1];
            ret[i]*=right;
        }
        return ret;
    }
};