图论学习——最大流问题

问题定义

输入：一个有向图，起点s，终点t

目的：从起点输送更多的水去终点

一个简单的算法

augmenting path:起点到终点的简单路径

这个算法并不能保证找到最大流

先介绍一个最简单的算法，首先找到一条最短路径s->v1->v4->t，因为权值分别为4，4，3，故通过此路径的流量应为3，再将他们仨都减去3，那么v4-t就成了0，我们应该将这条边删除

继续找到下一条最短路径s->v1->v3->t，权值分别为1 ，2 ，3，故通过此路径的流量应为1，再将他们仨都减去1，那么s-v1就成了0，我们应该将这条边删除

接下来没有s到t的路径，结束，下右图就是多余的量

蓝色框的就是flow，流量

但是这种方法严重依赖于选取路径的顺序，显然，在本次选取的顺序中得到的结果并不是最大值5

如果更换一个选取路径的顺序，就可以求出正确答案

阻塞流

最大流也属于阻塞流

阻塞流就是没办法再继续输送更多的水

Ford-Fulkerson

算法：

创建一个residual图，初始化为原图

while(能找到一个简单路径){

         在residual上找到一条简单路径

         寻找这条简单路径中的最小权值minv

         更新residual(resisual-=minv)

         添加反向路径，这条路径上每条边的权值等于x

}

时间复杂度f*m(f是最大流长度，m是边的长度）

和简单算法一样，首先找一条最短路径

 然后减去最小的权值

 另外，添加一份反向边

 继续找一条最短路径

 添加一份反向边

 

继续找一条最短路径（如果没有反向边，其实就不会再有最短路径）

 然后减去最小的权值

合并反向边，发现此时没有任何边到达t，应该终止程序

蓝色框为流过的流量

Edmonds-karps

是Ford-Fulkerson的特例，EK寻找路径的时候会遵循最短路优先(当作无权图)

算法：

创建一个residual图，初始化为原图

while(能找到一个简单路径){

         在residual上找到一条最短路径（简单路径中的最短路径）

         寻找这条简单路径中的最小权值minv

         更新residual(resisual-=minv)

         添加反向路径，这条路径上每条边的权值等于x

}

时间复杂度：m^2 *n（m是边的数目，n是顶点数目）

时间复杂度分析：每一轮循环都需要在m条边寻找最短路，residual图里最多是2m条边，找到最短路需要O(m)

最多循环m*n轮

最坏时间复杂度为m2*n

Dinic Algorithm

比Ek算法更快，时间复杂度是m*n2（m是边，n是顶点)

最多循环n-1轮 每一轮是mn

第一轮：

首先构造level graph

在level graph中寻找阻塞流，随便一个阻塞流即可（可以通过简单算法寻找）

PS：阻塞流不一定是最大流，最大流一定是阻塞流

 更新residual

 

添加反向边

第二轮：

继续构造level graph

在level graph中寻找阻塞流，随便一个阻塞流即可（可以通过简单算法寻找）

更新residual

添加反向边

第三轮

继续构造level graph

找不到路径

终止