线性变换的矩阵表示1

1 设 T是线性空间的一个线性变换，且 是的一个基，, 存在唯一的坐标表示

因此要确定线性变换T，只需要确定基元素在该变换下的象就可以了

这里的A表示线性变换在这组基下对应的矩阵。

对于任意元素 ， 在该基下，变换后    的坐标表示为

同时

对比可知

即：         

2 线性变换与其对应矩阵的关系 （定理）

        设是的一个基，在该基下的矩阵分别为A，B

则有：

        （1）

        （2） 

        （3）

        （4）

        证明

                设

                那么证明就可

                因为：

                在

两边同时乘T 得：

用A替换得：

又因为：

所以：

3 推论：设为纯量t的m次多项式，T为空间的一个线性变换，且在

的基下 的矩阵为A，则

其中

(根据上面四种运算形式，可以很清楚的看到对T加法、数乘的运算等价于对A的运算)

4 设线性变换T在的基下的矩阵为A，元素在该基下的坐标为,则在在该基下的坐标，满足：
        

5 相似矩阵：（定义）在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得

则称矩阵A与B相似，记为A~B。

6 设T在的两个基和下的矩阵分别为A和B，且则：， 即A和B为相似矩阵。

证明为什么

7 相似矩阵的性质：
;

;

则;

如果，那么， f为数域K上的多项式。

        证明：

 

反身性、对称性、传递性

8 n阶方阵A和B相似的充要条件是A和B为同一线性变换在不同基下的矩阵。

 

参考： 国科大-矩阵论课件