Codeforces Round 909 (Div. 3) 题解 A-E

A - Game with Integers

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题目描述
给定一个整数N，A和B都可以对这个整数进行加一或者减一操作，从A开始，如果A可以让N被3整除，那么A获胜，如果10步之内A没有获胜，那么B获胜。

思路：思维

• 如果N是3的倍数，那么A永远无法获胜，否则A对N进行加一或者减一则必胜。

public static void solve() throws IOException{
    int n = readInt();
    if (n % 3 == 0) {
        printWriter.println("Second");
    } else {
        printWriter.println("First");
    }
}

B - 250 Thousand Tons of TNT

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题目描述
有N个箱子从左到右排成一排，第i个箱子重 $a_i$ 吨。现在你可以使用K辆卡车，从左到右依次将箱子装入卡车，但是每辆卡车上装入的箱子数量必须一致，但是你想让这K辆卡车的其中两辆卡车所装货物重量之差尽可能大，求出这个最大差值。

思路：前缀和+枚举

• 先枚举每辆卡车所装箱子的数量：只需要枚举数量为 $1\le i\le \frac{n}{2}$ 的箱子，因为数量大于 $\frac{n}{2}$后方案肯定不可行，数量为 $n$时结果肯定为$0$。
• 再枚举每辆卡车所装箱子的重量之和，求出最大差值。

public static void solve() throws IOException{
    int n = readInt();
    int[] arr = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        arr[i] = readInt();
    }
    long[] pre = new long[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        pre[i] = pre[i - 1] + arr[i];
    }
    long res = 0;
    for (int i = 1; i <= n / 2; i++) { // 枚举每辆卡车上的箱子数量
        if (n % i == 0) {
            long curMax = Long.MIN_VALUE, curMin = Long.MAX_VALUE;
            for (int j = i; j <= n; j += i) { // 枚举每辆卡车上的箱子重量之和
                curMax = Math.max(pre[j] - pre[j - i], curMax);
                curMin = Math.min(pre[j] - pre[j - i], curMin);
            }
            res = Math.max(curMax - curMin, res);
        }
    }
    printWriter.println(res);
}

C - Yarik and Array

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题目描述
有一个长度为n的数组a，你需要找出一个子数组，且其中的元素都是奇偶相邻的，并且这个子数组的和最大，请求出这个最大和。

思路：动态规划

• dp数组的定义为：以第i个元素结尾所能构成的最大子数组的和。

public static void solve() throws IOException{
    int n = readInt();
    int[] arr = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) arr[i] = readInt();
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[1] = arr[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
    	// 奇偶性不同，在取前面的元素和不取前面元素中得最大值
        if ((arr[i - 1] & 1) != (arr[i] & 1)) {
            dp[i] = Math.max(arr[i], dp[i - 1] + arr[i]);
        } else {// 奇偶性相同，那么以第 i个元素结尾所能构成的最大子数组的和只能是arr[i]本身
            dp[i] = arr[i];
        }
    }
    int max = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        max = Math.max(max, dp[i]);
    }
    printWriter.println(max);
}

D - Yarik and Musical Notes

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题目描述
有一个长度为n的数组a和数组b，数组b的每个元素为 $2^{a_i}$，你需要找出总共有多少对 $b_i^{b_j}=b_j^{b_i}(i\le j)$。

思路：组合数学

• 原式为$2^{a_i^{2^{a_j}}}=2^{a_j^{2^{a_i}}}$得 $a_i\ast 2^{a_j}=a_j\ast 2^{a_i}$，再得 $\frac{a_i}{a_j}=2^{a_j-a_i}$，那么 ① $a_i=a_j$ ② $a_i=1,a_j=2$ ③ $a_i=2,a_j=1$，最后进行组合计数即可。

public static void solve() throws IOException{
    int n = readInt();
    Map<Integer, Long> map = new HashMap<>();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a = readInt();
        map.put(a, map.getOrDefault(a, 0l) + 1);
    }
    long res = 0;
    for (Long val : map.values()) {
        res += val * (val - 1) / 2;// 情况一
    }
    // 情况二和三
    res += (map.getOrDefault(1, 0l) * map.getOrDefault(2, 0l));
    printWriter.println(res);
}

E - Queue Sort

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题目描述
给定一个长度为n的数组a，你需要将其变为不递减数组。你可以进行以下操作多次：将第一个元素移至数组末尾，再将这个元素与其前面的元素对比，直至该元素严格大于他前面的元素或者成为第一个元素。如果无法将该数组变为不递减数组，输出-1，否则输出将其变为不递减数组的最少操作数。

思路：观察

• 观察可得，如果数组中最小的元素后面出现了降序的情况，那么永远无法将数组变为不递减数组，否则输出最小的元素前面有多少个比它大的元素。

public static void solve() throws IOException{
    int n = readInt();
    int min = Integer.MAX_VALUE; // 数组中的最小元素
    int[] arr = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        arr[i] = readInt();
        min = Math.min(min, arr[i]);
    }
    int idx = 0;// 数组中的最小元素第一次出现的位置
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (arr[i] == min) {
            idx = i;
            break;
        }
    }
    boolean f = true;// 最小元素后面是否不递减
    for (int i = idx + 1; i < n; i++) {
        if (arr[i] < arr[i - 1]) {// 出现降序
            f = false;
            break;
        }
    }
    if (!f) {
        printWriter.println(-1);
    } else {
        int cnt = 0; // 最小的元素前面有多少个比它大的元素
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (arr[i] > min) {
                cnt++;
            } else {
                break;
            }
        }
        printWriter.println(cnt);
    }
}