电枢公式

电枢公式

语雀电枢公式

电枢公式

问题

12槽电机中，为什么3与9是同绕的，为什么4与8是同绕的，是什么性质让他们是同绕的，为什么5是全可达的，是不是质数都是全可达的？电枢公式会从零到1清晰的解释这几个问题

电枢公式用于处理等步周期问题

    电枢公式讨论的是循环等步转圈问题。循环等步就是线性绕法，这种绕法最常用也最简单。电枢公式主要讨论的就是线性绕法下的 同绕关系, 阶, 可达 以及一些同绕恒等式，至于非线性绕法会使问题变得复杂与难以处理,分析中非线性问题常常使用线性近似的方式处理，但数论中极少出现近似的词。第t步绕到f(t)处,对于一般的非线性绕法的可达数，不一定会均匀分布在圆盘上,甚至没有稳定的形状,但f(t)=k*t这种线性绕法有着很多好的性质
  大多数人都会遇到的类似电枢绕线的场景，但有担心绕不到，担心绕乱的困扰。电枢公式清晰深刻的揭示了等步电枢绕线中的数学规律。
    电枢公式可以作为一个数学模型，用来解决等步周期类的问题。

核心符号&height=45&width=45)与概念

  与 n 最大公约数相同的数集 ,对应一类等价的电枢绕法,   "相同最大公约数"这个概念非常重要和有用，所以有必要给它一个符号![](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/0fa1334f80f5abbf163951971f68eb16.png#card=math&code=\left ( |\frac{k}{n}  \right )&height=45&width=45), 和一个重要的等价关系---同绕关系，意思是与n 最大公约数 等于 k 与n的最大公约数 组成的集合,显然 (n,k) 是这个集合的最小数(最小绕数).  电枢公式与欧拉函数 ψ(x) 有关, 欧拉函数解决与n互质的数有多少个, 电枢公式能解决与n互质的数有哪些 [定理4](#0DCqL)

电枢公式是循环群的一个视角

    电枢绕线问题是一个有限循环群问题, 这是一个已经被完全解决的问题,但结果都比较零散,缺乏一些顺手的,实用的公式,我围绕电枢绕线来讨论.电枢公式是理解循环群的一种新视角,另一个视角是与旋转,翻转相关的 [平面反转群](https://www.cnblogs.com/minglie/p/8446280.html)
   彻底理解电枢公式需要一些基本的初等数论知识这里有个[初等数论简明教程](https://www.yuque.com/docs/share/8b700dca-54ad-4572-b097-f8cd26b26952?# 《初等数论简明教程》),列举了我觉得比较重要的几个定理的证明.  为了让电枢公式更接近实际情况我会对电枢公式稍做扩展, 先了解一下 [电枢是怎么练成的 ](https://www.bilibili.com/video/BV1g64y1c7aA)

参考 电枢公式视频 https://www.bilibili.com/video/BV1mJ41197Jv


公共约定

约定1 =｛x|x∈N ∧ x

定义1

** &height=45&width=45)={x| (n,x)=(n,k) ∧ x

定义2

 绕法: 绕法用希腊字母τ表示。 第t步落入f(t)槽,那么f(t)就确定了一种电枢绕法,不过本文仅讨论τ=f(t)=kt的情景
 等价绕法:  经过相同槽的绕法称为等价绕法,
 同绕关系： 等价绕法互为同绕关系
注意绕法τ1 与 τ2为等价绕法，只是说明两种绕法能经过的槽是一样的，与经过槽的频率,概率,顺序无关，只是两种绕法的可达图看上去是一样的,同绕关系是两种绕法间的二元关系 .但绕法τ=kt 与数字k是一 一对应的,所以绕法 τ=kt可以简单的说成绕法k,同绕关系也可说成两个数字间的关系(定义4)。

举例: 12槽电机 1 和 11 为等价绕法,因为两种绕法都能把槽绕满

定义3

(|n)={&height=35&width=41)|x

定义4

同绕关系: （n,k）=(n,x) 称x与k关于n互为同绕关系，记作 x~k
这个不像是定义,而更像是定理，见定理7
显然同绕关系与同余关系类似也是等价关系，只是同绕关系没有同余关系那么好的运算性质

定义5

最小绕数与阶：(k,n)称为k对n的最小绕数，记作k

---

同绕类：&height=45&width=45)={0}，同绕关系对N划分构成一个个同绕类，但是n倍数的绕法我们一般不会关心，因此后面讨论，若不显示说明,则会把0的舍去。
（n,k）是集合&height=45&width=45)的最小元素，即k的最小绕数k

&height=45&width=45)就是k对n的一个同绕类，这个同绕类的元素全都是k最小绕数k =（n,k）的倍数 (定理1.1)
因为一个 同绕类 与 绕法 是一一对应的，所以定义3 （|n）有时指n 的所有绕法集，有时又指n的一个同绕系，
同绕系与绕法集是等价的，（|n）的意义应在具体场合具体分析,做到科学的脑纸分配

 在自然数中筛选出一组n的所有绕法集，这样一组完备且不相交的绕法集称为n的一组同绕系。

或者说
在n的一组完备的同绕类族里每个同绕类随便抽取一个元素组成的集合称为n的一组同绕系。
类比剩余系，由于 k 与 t*n+k 同绕，因此可以在小于n的范围内找到一组n的同绕系，并且如果选择同绕类的最小绕数作为同绕系的元素，则称这个同绕系为标准同绕系
注意：
n的一个同绕系必然包含n槽电机的所有绕法，n的一个同绕系内的元素必然是彼此不同绕的，
同绕不同于同余，即便在小于n的范围内,同绕系的选取也有多个，根据定义3可知,小于n内选取同绕系，共有
 }^{} |s|&height=48&width=53) 种方案

例1：
求6的标准同绕系 (定理8有更好的办法)
P1：先求6的所有同绕类
&height=45&width=44)={1，5}

&height=45&width=44)={2，4}

&height=45&width=44)={3}
因此6的同绕类只有3个{1，5}，{2，4}，{3}，这3个同绕类是N6的一个划分
选取同绕类的最小元素得到
6的标准同绕系为 （|6）={1，2，3}
这个结果正好验证了定理8, n的标准同绕系就是n的因子集。

定义9:可达

可达:绕法τ可以到达的槽叫可达槽，对应的槽号叫τ的可达数,或τ的可达点
定理13解决了 绕法τ是否对某个数可达，如果可达
计算对应阶的方法.
只要这个数是最小绕数的倍数那么这个数就是可达的，同绕集中不同数的伪阶不同，需要用定理13求解.
可达集:绕法τ可达数,组成的集合
可达图:绕法τ可达点形成的图形叫可达图
线性绕法的可达图一定是均匀分布在圆上,槽数n确定时可达图的种类与同绕系的模一样多，与模n的因子个数一样多
全达(全可达):如果所有槽,绕法τ都是可达的，那么称τ是全达的，一般非线性绕法τ的全达问题需要逐槽验证
1很明显是全达的，其实与总槽数互质的数都是全达的
定理1的电枢公式将所有的线性绕法转换成对应的全达绕法，乘以一个叫最小绕数的系数
这样看电枢公式就像两个大小齿轮，两个齿轮的系数比为最小绕数**。**

定理1(电枢公式)

                ![](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/68b7e6cadeb07df74515ff494ed9eae8.png#card=math&code=\left ( |\frac{k}{n}  \right ) =(n,k)*\left ( |\frac{1}{\frac{n}{(n,k)} }  \right ) &height=61&width=195)

---

P1 : ∀x ∈  &height=45&width=45) → (n,x)=(n,k)
P2:
P3: } ∈ \left ( |\frac{1}{\frac{n}{(n,k)} } \right ) &height=61&width=138)
P4:  \left ( |\frac{1}{\frac{n}{(n,k)} } \right ) &height=61&width=144)
P5:  =(n,k)*\left ( |\frac{1}{\frac{n}{(n,k)} } \right ) &height=61&width=195)

电枢公式 直观理解就是 (n,k)= (t*(n,k) ,n ) 则需要 (t, n/(n,k))=1 才行 , 只要 t ∈ } } \right ) &height=61&width=72) 就行
电枢公式的意义在于它可以将所有的电枢绕法全都转换为 绕满问题， 绕满问题 就是互质问题，
注意 质数阶电枢一定能绕满, 但绕满不一定是质数,只要步长与阶n互质

从电枢公式可知k的同绕集与 k的阶 n/(k,n)
的全达集是一一对应的，这样就把大电枢转换成了小电枢.
例1
12以内 哪些数与12的最大公约数 与4一样?

                ![](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/aa56d2549cb3efb380d1556910fce6c0.png#card=math&code=\left ( |\frac{4}{12}  \right ) =(12,4)*\left ( |\frac{1}{\frac{12}{(12,4)} }  \right ) =4*\left ( |\frac{1}{3} \right)&height=66&width=304) =4*{1,2}={4,8}

定理1.1

同绕集里的元素一定是它们最小绕数的倍数
**
因为同绕集里的数有着相同的最小绕数 并且 (n,k)|k，这个命题的反命题是不成立的
比如12槽中，4是2的倍数，但4与2并不同绕

6有3个同绕集 {1，5}，{2，4}，{3}
显然符合定理1.1

定理1.2

~是同绕关系 若 x~k , t ∈ } } \right ) &height=61&width=72) 则 tx ~ k,
定理1 给出了求k同绕集的方法
定理8 给出了求标准同绕系的方法

定理2

                ![](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/066325b2534e773c5ba5754a00c10eae.png#card=math&code=(|\frac{1}{p^{k} })=Np^{k}-pNp^{k-1}&height=42&width=169)

---

就是把含有因子p的数都给去掉

定理3

=1 \longrightarrow \left ( |\frac{a}{ap}\right )=a N_p&height=45&width=258)

---

直接带入电枢公式即可
推论
取a=1,可得素数阶电枢,无论怎么绕总能绕满所有槽

定理4

 =&height=54&width=102)&height=28&width=276)

从定理4很容易得到
 &height=54&width=129) =

定理5

| =p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}…p_t^{\alpha t}\prod_{i}^{\a t}(1-\frac{1}{p_i} )&height=54&width=345)

这是 欧拉公式的推论 |=\varphi \left ( n \right ) &height=45&width=119)

定理6

   n 槽电枢, 每次绕k砸, 最少绕 ![](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/30f72bfea5bf00b86537e1851d60a103.png#card=math&code=\frac{n}{(n,k)}&height=40&width=45) 次能回到起点
  这个定理揭示了定义5  最小绕数与阶的物理意义

---

这个就是群的阶定理|a|=n -> |a^k|=n/(n,k)

P1 : n | k
P2: n | tk
P3: | t

P4: }&height=40&width=45) | t

例1
1袋粽子有4个, 14个粽子可以装一箱,最少买多少袋粽子可以正好装满整箱

这个问题就是求4对14的阶，用14除以4的最小绕数即可

P1:     14/(4,14)=7    因此最少买7袋粽子能正好装满整箱

定理7

n槽电机, (x,n)=(y,n) <=> x与y 是等价绕法

这个定理就是定义1的由来,证明可以参看循环群阶定理,这里用自然语言描述证明
P1: 第一次回到起点，没有绕到的槽，以后也不会再绕到,(因为它会走它以前走过的路)
P2:只要按固定的步长绕线，最后绕到的槽会均匀分布在圆上(因为能绕到的槽地位平等)
P3:第一次回到起点走的步数一样的绕法是等价绕法(P2的推论)
P4: 每次绕k砸, 最少绕 次能回到起点 (定理6)， 由 (n,k)唯一确定
所以 (x,n)=(y,n) <=> x与y 是等价绕法

定理8

      |(|n)| =  n 的因子个数，即 n同绕系中的元素的个数等于n的因子个数，而n的每个因子可作为

n各个同绕集的代表元（n的不同因子一定是不同绕的），所以
n的标准同绕系就是n的因子集

P1 S={x|(n,x)|x |S|=|(|n)|
P2 S的元素是n的因子，n的一个因子k=(n,k) 又是S 的元素
P3 S就是n的因子集 |S|=|(|n)| =n的因子个数
补充
|(|n)| 表示n槽电机的绕线方式集, 而方式 &height=45&width=45) 里面又有** **|&height=45&width=45)| 种等价方式,
定理 1 -5 都是为了 解决 与 k 的等价绕法 有多少个,有哪些等价绕法
n阶循环群G , n的每个因子k, 唯一的对应一个k阶子群, 这个子群 可由&height=45&width=45)中的任意元素生成

定理9

     n 槽电机有 φ(n)种绕法能够绕满

---

P1 每次绕一个槽显然能绕满,
P2 &height=45&width=45) 便是 n 槽电机能够绕满的的绕法集

P3 根据定义1 | &height=45&width=45)|=φ(n)

|=|\left ( |\frac{1}{a} \right )|*|\left ( |\frac{1}{b} \right )|&height=45&width=215) <=> φ(ab)=φ(a)φ(b)

欧拉函数为啥是积性函数, 这个证明很简单漂亮
P1: 令 S={xa+yb | (xa+yb,ab)=1} S {y| (y,a)=1} S {x| (x,b)=1}
P2: |S|=φ(ab) |S|=φ(a) |S|=φ(b)
P3: (a,b)=1 ∧ (xa+yb,ab)=1 <=> (y,a)=1 ∧ (x,b)=1
P4: φ(ab)=φ(a)φ(b)

  从定理10可直接的到定理5

定理10.1

=b\left ( |\frac{1}{a} \right ) +a\left ( |\frac{1}{b} \right )&height=45&width=200) mod ab ,注意等式右侧的+指的是笛卡尔和
定理10.1 的证明与定理10类似Sab正好是所有与ab互质的数组成的集合(不多不少)

例1 使用12验证一下定理10.1
&height=45&width=52) ={1，5，7，11}

4&height=45&width=44) =4{1，2}={4，8}
3&height=45&width=44) =3{1，3} ={3，9}

{4，8}+{3，9}={7，1，11,5}

定理11

&height=45&width=45) = &height=45&width=74)

P1: (n,k)=(n,n-k)
定理11 说明一个道理, 给电枢绕线与方向无关,仅取决于步长, 正向每步绕k个槽与逆向每步绕k个槽 实际是等价的
比如
给赤道上修一条马路,并涂上斑马线,用来均匀的分割赤道, 无论给赤道分成多少份, 每次正着走k步, 一定能踩到n-k的斑马线。从定理6 知道 n/(n,k) 步可以回到起点, 所以 n/(n,k)-1 步 能踩到 n-k的斑马线

    扩展一下s的斑马线最少多少步才能踩到?    这个问题可以用  [定理13伪阶方程](#eVPQA) 求解
      kx≡s mod n  (这个方程有解的充要条件是 (k,n)| s，不一定有解,所以s不一定能踩到)

自然语言描述这个现象是

 此时我踩到s了  ->  我倒退s步就是起点  ->  kx-s ≡ 0 mod n,  只是 [定理13伪阶方程](#eVPQA) 更广泛一些

例1 证明欧拉公式

(a,n)=1  -> a≡1 mod n 

P1 : &height=45&width=45) ={x x,… x } 是n的简化剩余系
P2: a ∈ &height=45&width=45) => a&height=45&width=45)=&height=45&width=45)
P3: a* x* x … * x
≡ (a * x) * (a * x) * … * (a * x)
≡ x x* … * xmod n
P4: a≡1 mod n

电枢公式新绕法扩展

 实际电枢的绕法像下图,是绕几个槽,空几个槽再绕,有叠绕组,波绕组

图1

/
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

定义10

槽: 图1 凹下去的称为槽
入槽: 箭头射入的槽称为线圈(箭头)的入槽
出槽: 箭头射出的槽称为线圈(箭头)的出槽
图1中第一个黄色线圈,以0为出槽,5为入槽
阶: 第二次以0为出槽时所用的线圈数
前面常规电枢公式s成为入槽后,下一步s又会成为出槽,中间没有空隙
s的伪阶: 绕法 **τ **第一次射入s所用的线圈数称为绕法 **τ对槽s的 伪阶
关于伪阶有 τs 的 **伪阶方程 定理13

定义11

严格上标识 &height=45&width=45) : 可以记作 形如 0~k , k+1~2k … 的绕法
但由于在讨论具体问题时, n是固定的,所以n可以省略 所以用k加下划线来简写

k: 形如 0~k , k+1~2k … 的绕法
k，m: 形如 0~k , k+1…k+m-1,k+m …2k+m … 的绕法(注意第一个线圈k没有成为出槽,第二个线圈 k+m 没有成为入槽) k是两个相邻入出槽之差, m是相邻出槽或相邻入槽之差

根据定义可知,前面的电枢公式是m=0的特殊情况
k=k，0
k,m 这种绕法处理起来不方便, 但可以发现 k,m 可以转换为 k+m ,所以可以将k,m转换为 k+m 处理完再转换为 k,m

定理12

** k，m 的阶为n/(n,k+m)**

36槽三相电机,18个线圈, 一相用6个线圈则要求满足36/(36,k+m)=6
所以k+m=6,否则将绕乱

定理13

绕法k，m 对s的伪阶方程为
(k+m)x****≡s+m mod n

例1
n=12, 3，2 走几步能射入6

P1: 5x≡8 mod 12 => x=4 => 走4步能射入6

3，2 的绕法如下图
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9