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Hi，我是丑丑。本文「数据结构 & 算法」| 导读 —— 登高博见 已收录，这里有 Android 进阶成长路线笔记 & 博客，欢迎跟着彭丑丑一起成长。（联系方式在 GitHub）
前言
- 今天，我们来讨论一个非常实用的数据结构——二叉堆（Binary Heap，简称：堆），它最主要的应用场景有 堆排序 & 优先队列 & Top K & 最大索引堆。与堆相关算法题目基本属于中等难度，在算法面试中也比较常见，建议应试者着重学习；
- 在这篇文章里，我将梳理堆的 基本知识 & 常考题型。如果能帮上忙，请务必点赞加关注，这真的对我非常重要。
目录
1. 基本概念
- 逻辑结构
二叉堆（Binary Heap） 是一种特殊的完全二叉树，即：每个节点都大于等于（或者小于等于）子节点。需要注意的是，兄弟节点的相对大小是不重要的。
具体来说，如果每个节点都大于等于子节点，这种堆称为 大顶堆 / 最大堆；如果每个节点都小于等于子节点，这种堆称为 小顶堆 / 最小堆。
- 物理结构
树可以采用数组 & 链表两种存储方式，对于二叉堆（完全二叉树）来说，数组存储方式是空间利用率最高的存储方式。因此通常来说，二叉堆是基于数组的数据结构。
2. 堆的基本操作
这一节，我们先来讨论堆的三个基本操作 —— 上浮 & 下沉 & 建堆，这三个操作的目的其实都是堆化（Heapify）。建堆的作用是把一组数据转换为满足堆性质的数据结构，而上浮 和 下沉的作用是在堆结构变化之后，适当地调整节点使其重新满足堆的性质 。
提示： 为了专注于讨论二叉堆的相关内容，在这一节里我们不考虑泛型，同时以大顶堆为例子。
2.1 上浮（添加元素）
往堆里添加元素时，需要执行上浮操作，具体步骤如下：
- 1、新元素放在数组末尾（注意：是有效数据的末尾，而不是数组物理区域的末尾）；
- 2、与父节点比较，如果不满足堆的性质，则交换父子节点；
- 3、重复步骤 2，直到满足堆的性质。
提示： 从数组末尾开始上浮，数组交换和一定的次数最少。
结合代码可能更容易理解：
根节点存储在第 [0] 位
public class Heap {
private Integer[] data;
private int count;
添加元素
private void insert(Integer x) {
int i = count;
data[count++] = x;
siftup(i);
}
上浮操作
private void siftup(int k) {
while (k > 0 && data[(k - 1) / 2] < data[k]) {
swap(data, (k - 1) / 2, k);
k /= 2;
}
}
}
这段代码存在着一些不必要的赋值操作，可以优化，优化后目标元素只会赋值一次到最终位置：
参考 JDK 1.5 java.util.PriorityQueue.java
添加元素
private void insert(Integerx) {
int i = count;
data[count++] = x;
siftup(i, x);
}
上浮操作
private void siftup(int k, Integer x) {
while (k > 0) {
int parent = (k - 1) >>> 1;
Integer parentE = data[parent];
if (parentE >= x)
break;
data[k] = parentE;
k = parent;
}
data[k] = x;
}
2.2 下沉（取出元素）
往堆里取出元素时，需要执行下沉操作，具体步骤如下：
- 1、取出堆顶元素，即数组第 1 个元素（索引为 0 或 1，取决于具体实现）；
- 2、数组最后一个元素放到数组 1 个元素的位置；
- 3、与子节点比较，如果不满足堆的性质，则交换父节点与子节点中最小的那个；
- 4、重复步骤 3，直到满足堆的性质。
提示： 从数组头部开始下沉，数组交换和一定的次数最少，同时能够避免出现 数组空洞。
另外，需要注意到叶子节点是没有子节点的，不需要执行下沉操作，可以提前结束。（根节点存储在第 [0] 位时，叶子节点下标为，根节点存储在第 [1] 位时，叶子节点下标为 ）。
结合代码可能更容易理解：
根节点存储在第 [0] 位
public class Heap {
private Integer[] data;
private int count;
取出堆顶元素
int poll() {
int k = --count;
int result = data[0];
int x = data[k];
data[k] = null;
if (k != 0) {
siftdownV2(0);
}
return result;
}
下沉操作
void siftdown(int k) {
int half = count / 2;
while (k < half) {
int minPos = k;
if (data[k * 2 + 1] < data[k]) minPos = k * 2 + 1;
if (data[k * 2 + 2] < count && data[k * 2 + 2] < data[k]) minPos = k * 2 + 2;
if (minPos == k)
break;
swap(data, k, minPos);
k = minPos;
}
}
}
这段代码存在着一些不必要的赋值操作，可以优化，优化后目标元素只会赋值一次到最终位置：
参考 JDK 1.5 java.util.PriorityQueue.java
取出堆顶元素
private int poll() {
int k = --count;
int result = data[0];
int x = data[k];
data[k] = null;
if (k != 0) {
siftdown(0, x);
}
return result;
}
下沉操作
private void siftdown(int k, int x) {
注意：叶子节点没有子节点，不需要下沉
int half = count >>> 1;
while (k < half) {
int child = (k << 1) + 1; // assume left child is least
Integer childE = data[child];
int right = child + 1;
if (right < count && childE > data[right])
childE = data[child = right];
if (x < childE)
break;
data[k] = childE;
k = child;
}
data[k] = x;
}
2.3 建堆
前面讲的上浮和下沉操作的前提是数组本身是堆化的，那么这一节我们就来讨论 建堆 这一操作。
建堆可以分为 原地建堆 & 非原地建堆，原地建堆指的是将一个数组原地堆化的过程，而非原地建堆指的是输入数据一个个添加到数组中的过程。可以观察到， 非原地建堆其实就是不断添加元素执行下沉操作的过程，等同于 第 2.1 节 上浮操作，所以我们主要是分析原地建堆。
原地建堆可以用两种方法实现，分别为 从下往上堆化 & 从上往下堆化 ：
- 从下往上堆化
这种方法先将下标为 0 的第一个元素视为大小为 1 的堆，随后将下标从的元素依次执行上浮操作。这个过程也相当于不断向这个初始大小为 1 的堆里添加元素。
- 从上往下堆化
这种方法先将叶子节点视为大小为 1 的堆，随后将下标从的节点执行下沉操作。
2.4 复杂度分析
-
时间复杂度
- 上浮 & 下沉：沿着树根节点到叶子节点的路径进行比较和交换。而一个包含 n 个节点的二叉树，树的高度为 ，所以时间复杂度为；
- 建堆：建堆的时间复杂度是，推导过程可以看参考资料，这个结论还是比较重要的。
空间复杂度
堆化的过程中只是用了常量级变量，因此空间复杂度为。
3. 堆的应用 —— 堆排序
堆排序（Heap Sort） 指的是借助二叉堆实现的原地排序算法，它是一种时间复杂度为 的不稳定的排序算法，快速排序有几分相似之处，后文我也会分析它们之间的区别。
总的来说，堆排序的过程可以分为 建堆 & 排序 两个步骤：
3.1 建堆
建堆的过程在 第 2.3 节讨论过了，假设我们要进行递增排序的话，我们就需要建立一个大顶堆（每个节点都大于等于子节点）。
特别提示： 完成建堆后，数据处于 堆有序 状态，但不是 有序 状态，堆有序其实只是指数据满足堆的性质（每个节点都大于等于或小于等于子节点）。
3.2 排序
建立大顶堆后，现在我们来进行排序操作，具体操作如下：
- 1、堆顶元素，交换到数组末尾位置，此时，最大的元素已经完成排序；
- 2、执行下沉操作，将数组前 n - 1 个数据重新堆化；
- 3、重复步骤 1 和 步骤 2，直到堆的大小为 1。
整个过程相当于执行 n 次 取出堆顶元素的操作，直到最后堆的大小为 1 时，数组完成排序。
3.3 复杂度分析
- 时间复杂度
下沉操作的时间复杂度是，总共执行 n 次，因此总体的时间复杂度为；
- 空间复杂度
堆排序是原地排序，建堆和排序的过程中只是用了常量级变量，因此总体的空间复杂度为。
3.4 堆排序与快速排序对比
前面提到了堆排序和快速排序的相似之处，那么两者有何不同的？
- 数据访问方式不同
快速排序是从数组下标依次递增访问数据，而堆排序是跳着访问的，后者更不利于命中 CPU 缓存行。
- 数据交换次数不同
堆排序进行堆化时，可能会改变数据原本的相对顺序，将原本相对有序的数组变得更加无序。这反而增加了逆序度，增加了执行交换操作的次数。
考虑到这两个因素，我们不难理解为什么 JDK 的 java.util.Arrays.sort()会选择使用快速排序，而不是堆排序了。
当然了，堆排序也不是完全没有价值，有一种场景堆排序就 “秒杀” 快速排序。那就是只需要取得前 k 个有序的数据时，即 Top k 问题，使用堆排序（或者称为大小为 k 优先队列），时间复杂度仅为。
4. 堆的应用 —— 优先队列
与优先对列相似的有一种数据结构：队列，虽然它们的名称很相似，但是本质上区别是很大的：
| 数据结构 | 描述 |
|---|---|
| 队列 | 先进先出（FIFO），出队顺序由时间顺序决定 |
| 优先队列 | 出队顺序与入队顺序无关，而由优先级顺序决定 |
4.1 优先队列的实现
狭义上，优先队列指的是基于二叉堆实现的数据结构。而广义上，凡是能够实现按优先级顺序出队的数据结构都可以称为优先队列（例如 Android 领域熟知的 MessageQueue）。
提示： 当你看到优先队列这个词的时候，如果没有特殊上下文语境，指的就是基于堆实现的优先队列。
一般来说，优先队列有以下三种实现：
| 底层实现 | 入队 | 出队 | 举例 |
|---|---|---|---|
| 普通数组 | （扫描整个数组选择最高优先级） | / | |
| 顺序数组 | （入队时维护顺序，下标靠前优先级越高） | （取出数组下标为 0 的元素） | Android MessageQueue |
| 堆 | Java PriorityQueue |
可以观察到，基于堆的优先队列平衡了入队与出队的时间复杂度。
4.2 优先队列的优点
使用优先队列可以实现 高性能的定时器。
假设我们有一个定时器 / 消息器，里面存储是等待执行的定时任务，最笨的方法是每隔一小段时间扫描整个任务列表，筛选出到达执行时间的任务。这样做有两大弊端：
1、无效轮询：任务的执行时间可能还差很久，前面的扫描都是无效的；
2、扫描耗时：如果任务列表非常庞大，一趟扫描会非常耗时。
而如果使用优先队列，则可以规避这两个弊端，即不需要轮询，也不需要扫描整个任务列表。
需要做的是维护定时任务列表的执行优先顺序，每次从优先队列中取出队首的任务。然后计算该任务执行时间与当前时间的差值，把这个差值作为等待时间，等待这个时间之后再回来执行任务（如果等待过程中对任务列表进行操作，则需要提前唤醒）。
Android 领域的小伙伴应该对 MessageQueue 优先队列有深刻理解。虽然它并不是一个基于堆的优先队列，但是思路是一致的：如果当前时间还未到达队首消息的执行时间，那么当前线程等待，而不是轮询判断。Android 领域的小伙伴可以看看之前我写的这篇文章：《Android | 面试必问的 Handler，你确定不看看？》
5. 堆的应用 —— Top K 问题
5.1 题目描述
- 347. 前 K 个高频元素 Top K Frequent Elements 【我的题解】
- 17.14. 最小K个数 Smallest K LCCI 【我的题解】
输入整数数组 arr ，找出其中最小的 k 个数。例如，输入4、5、1、6、2、7、3、8这8个数字，则最小的4个数字是1、2、3、4。
Top K 问题是一个超高频的面试算法问题，难度属于中等，它的解法有很多个，最笨的方法是先将整个数组执行快速排序，再返回排序后前 k 个数，时间复杂度为。在这里我们主要讲使用二叉堆的解法。
5.2 解法步骤
步骤分解如下：
- 1、将数组前 k 个数添加到堆，建立一个大小为 k 的大顶堆；
- 2、依次遍历数组后续的数，如果该数比堆顶的数更小，则将堆顶元素弹出，而该数添加到堆中；
- 3、重复步骤 2，直到所有数据处理完毕，最终堆中元素就是最小的 k 个数。
可以发现基于二叉堆的思路是 使用大顶堆维护数据的最小的 k 个数，每次将一个数与堆顶元素比较。如果该数小于堆顶元素，说明堆顶元素不是最小 k 小个数，应当从堆里弹出，而该数添加到堆里。
5.3 复杂度分析
- 时间复杂度
建堆的时间复杂度是，而取堆顶元素和插入元素的时间复杂度为，因此总的时间复杂度为，优于快速排序；
- 空间复杂度
维护了一个大小为 k 的二叉堆，空间复杂度为。
6. 最大索引堆
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参考资料
- 《二叉堆》 —— 维基百科
- 《堆》 —— LeetCode 出品
- 《二叉堆详解实现优先级队列》 —— labuladong 著
- 《第 11 章》优先队列与堆 —— liweiwei 著
- 《剑指 Offer》最小的 k 个数 —— 何海涛 著
- 《堆和堆排序：为什么说堆排序没有快速排序快？》 —— 王争 著，极客时间 出品
- 《堆的应用：如何快速获取到Top 10最热门的搜索关键词？》 —— 王争 著，极客时间 出品
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