【数据结构与算法篇】一文详解数据结构之二叉树

树的概念

    树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一
个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，
也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 根结点: 树中的从上开始的第一个节点， 是树中的特殊节点
  • 根节点没有前驱结点
  • 有至少一个或者n个后继节点
• 其余结点： 除根节点之外的节点 。 它们被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
  <= m)又是一棵结构与树类似的子树。
• 每棵子树的根结点
  • 有且只有一个前驱(所有子树的根节点)
  • 可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的
  • 递归 : 复杂问题拆解成多个类似的小问题进行求解。
• 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

相关术语

• 节点的度 :
  • 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
  • 如上图：A节点的度为6
• 叶节点(又叫终端节点):
  • 度为0的节点称为叶节点
  • 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 子树 :
  • 根节点之下的节点所形成的树。树由多个子树构成
• 分支节点(又叫非终端节点):
  • 度不为0的节点
  • 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 父节点(又叫双亲节点)：
  • 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
  • 如上图：A是B的父节点
• 子节点(又叫孩子节点)：
  • 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
  • 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：
  • 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
  • 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：
  • 一棵树中，最大的节点的度称为树的度
  • 如上图：A节点的度为6，是最大的度 因此树的度为 6
• 节点的层次：
  • 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
• 树的高度(也称深度)：
  • 树中节点的最大层次
  • 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：
  • 双亲在同一层的节点互为堂兄弟
  • 如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：
  • 从根到该节点所经分支上的所有节点
  • 如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：
  • 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙
  • 如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：
  • 由m 加粗样式(m>0) 棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示

• 树有很多种表示方式, 例如：
  • 双亲表示法
  • 孩子表示法
  • 孩子双亲表示法
  • 孩子兄弟表示法等
• 孩子兄弟表示法是最常用的一种表示法， 介绍如下:
• 树中的任意一个节点的组成
  • 值域 : 存储数据
  • 孩子节点 : 指向其第一个孩子节点
  • 兄弟节点 : 指向它的下一个兄弟节点

typedef int DataType
struct TreeNode
{
	struct TreeNode* firstChild1;   // 指向其第一个孩子节点
	struct TreeNode* nextBrother;  // 指向其下一个兄弟节点
	DataType _data;              // 节点中的数据域
}

左孩子右兄弟表示法 : 指向左边第一个孩子节点(子节点)， 指向右边第一个兄弟节点

高度为h的完全二叉树 : 前h-1层为满的， 第h层不一定满， 但是第h层一定是从左到右连续的