在计算机科学中,一个图就是一些顶点的集合,这些顶点通过一系列边结对(连接)。顶点用圆圈表示,边就是这些圆圈之间的连线。顶点之间通过边连接。
在计算机中有了数组链表,可以满足基本需求,为什么还需要图呢?
很多人有这样疑惑,因为我们拥有者一对一,一对多的数据结构,但是没有多对多的数据结构,所以,图就是为了满足多对多的一种需求所以创造出来的数据结构
1.无向图(undirected graph)
如果一个图结构中,所有的边都没有方向性,那么这种图便称为无向图。典型的无向图,如图二所示。由于无向图中的边没有方向性,这样我们在表示边的时候对两个顶点的顺序没有要求。例如顶点VI和顶点V5之间的边,可以表示为(V2, V6),也可以表示为(V6,V2)。
图二 无向图
对于图二无向图,对应的顶点集合和边集合如下:
V(G)= {V1,V2,V3,V4,V5,V6}
E(G)= {(V1,V2),(V1,V3),(V2,V6),(V2,V5),(V2,V4),(V4,V3),(V3,V5),(V5,V6)}
2.有向图(directed graph)
一个图结构中,边是有方向性的,那么这种图就称为有向图,如图三所示。由于图的边有方向性,我们在表示边的时候对两个顶点的顺序就有要求。我们采用尖括号表示有向边,例如
图三 有向图
对于图三有向图,对应的顶点集合和边集合如下:
V(G)= {V1,V2,V3,V4,V5,V6}
E(G)= {
注意:
无向图也可以理解成一个特殊的有向图,就是边互相指向对方节点,A指向B,B又指向A。
3.混合图(mixed graph)
一个图结构中,边同时有的是有方向性有的是无方向型的图。
在生活中混合图这种情况比较常见,比如城市道路中有些道路是单向通行,有的是双向通行。
4.顶点的度
连接顶点的边的数量称为该顶点的度。顶点的度在有向图和无向图中具有不同的表示。对于无向图,一个顶点V的度比较简单,其是连接该顶点的边的数量,记为D(V)。 例如,图二所示的无向图中,顶点V5的度为3。而V6的度为2。
对于有向图要稍复杂些,根据连接顶点V的边的方向性,一个顶点的度有入度和出度之分。
这样,有向图中,一个顶点V的总度便是入度和出度之和,即D(V) = ID(V) + OD(V)。例如,图三所示的有向图中,顶点V5的入度为3,出度为1,因此,顶点V5的总度为4。
5.邻接顶点
邻接顶点是指图结构中一条边的两个顶点。 邻接顶点在有向图和无向图中具有不同的表示。对于无向图,邻接顶点比较简单。例如,在图二所示的无向图中,顶点V2和顶点V6互为邻接顶点,顶点V2和顶点V5互为邻接顶点等。
对于有向图要稍复杂些,根据连接顶点V的边的方向性,两个顶点分别称为起始顶点(起点或始点)和结束顶点(终点)。有向图的邻接顶点分为两类:
入边邻接顶点:连接该顶点的边中的起始顶点。例如,对于组成
出边邻接顶点:连接该顶点的边中的结束顶点。例如,对于组成
所谓图的遍历,即是对结点的访问。一个图有那么多个结点,如何遍历这些结点,需要特定策略,一般有两种访问策略:
( 1)深度优先遍历
(2)广度优先遍历
图的深度优先搜索(Depth First Search)
深度优先遍历,从初始访问结点出发,初始访问结点可能有多个邻接结点,深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点,然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点,访问它的第一个邻接结点,可以这样理解:每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
我们可以看到,这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入,而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
显然,深度优先搜索是一个递归的过程
图的广度优先搜索(Broad First Search).
类似于一个分层搜索的过程,广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序,以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
/**
* @author wangli
* @data 2022/6/1 10:54
* @Description:
*/
public class Graph {
public static void main(String[] args) {
//测试一把图是否创建正确
String[] vertexs = new String[]{"A", "B", "C", "D", "E","F","G"};
//创建图的对象
Graph graph = new Graph(vertexs.length);
//循环的添加结点
for (String vertex : vertexs) {
graph.vertexList.add(vertex);
}
boolean[] booleans = new boolean[vertexs.length];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
booleans[i]=false;
}
//添加边的操作
//A-B A-C B-C B-D B-E 这几个相连A0,B1,C2,D3,E4
graph.addEdge(0, 1, 1);//这个表示A-B已经相连接
graph.addEdge(0, 2, 1);//A-C
graph.addEdge(1, 2, 1);//B-C
graph.addEdge(1, 3, 1);//B-D
graph.addEdge(1, 4, 1);//B-E
graph.addEdge(3, 5, 1);//D-F
graph.addEdge(4, 6, 1);//E-G
//显示一把邻接矩阵
graph.showEdges();
//测试深度遍历
System.out.println("深度遍历");
graph.depthFirstSearch();
System.out.println();
//测试广度优先遍历
System.out.println("广度优先遍历测试");
graph.BreadthFirstSearch(booleans,0);
}
//存储节点
private ArrayList vertexList;
//存储对应的邻接矩阵
private int[][] edges;
//边的数量
private int numOFEdges;
//表示节点是否被访问过
private boolean[] isVisited;
public Graph(ArrayList vertexList, int[][] edges, int numOFEdges, boolean[] isVisited) {
this.vertexList = vertexList;
this.edges = edges;
this.numOFEdges = numOFEdges;
this.isVisited = isVisited;
}
//基本准备
//构造器
public Graph(int n) {//n表示构建这个图有多少个顶点
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<>(n);
numOFEdges = 0;//初始化为0
}
/**
* 深度优先遍历
* @param isVisited
* @param v 起始遍历节点
*/
public void depthFirstSearch(boolean[] isVisited,int v){
System.out.print(vertexList.get(v)+"=>");
// 1.将起始节点置为true,表示已经遍历过了
isVisited[v]=true;
// 2.查询邻接点
int neighborNodeIndex = getNeighborNode(v);
// 3.若邻接点不为空,以邻接点为起始节点开始递归遍历
while (neighborNodeIndex!=-1){
// 4.若没有被遍历过,递归遍历
if (!isVisited[v]){
depthFirstSearch(isVisited,neighborNodeIndex);
}
// 5.若已经被访问过,继续下一个邻接节点
neighborNodeIndex = getNextNeighbor(v, neighborNodeIndex);
}
}
//对dfs进行重载,对应w不存在的情况
public void depthFirstSearch() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
//遍历所有的节点,进行dfs[回溯]
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
depthFirstSearch(isVisited, i);
}
}
}
public void BreadthFirstSearch(boolean[] isVisited,int v){
System.out.print(vertexList.get(v)+"=>");
// 1.将起始节点置为true,表示已经遍历过了
isVisited[v]=true;
// 2.查询邻接点
int neighborNodeIndex = getNeighborNode(v);
for (int i = v; i < vertexList.size(); i++) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (!isVisited[j]&&edges[i][j]==1){
System.out.print(vertexList.get(j)+"=>");
isVisited[j]=true;
}
}
}
}
/**
* 获取邻接点
*/
public int getNeighborNode(int v){
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[v][i]>0){
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* @param v1 指的是V1行
* @param v2 指的是V2列,并且V2是V1的邻接结点,即edges[v1][v2]==1,这个方法是找v1的下一个邻接结点,所以j=v2+1
* 上面那个只能得到第一个邻接结点的下标。而这个和那个不同,尤其对于邻接结点已经被访问,不能直接用上面那个
* @return
*/
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
/**
* 显示对应的邻接矩阵
*/
public void showEdges(){
for (int[] edge : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(edge));
}
}
/**
* 添加节点
*/
public void addNode(String node){
vertexList.add(node);
}
/**
* 添加边
* @param v1 第一个顶点
* @param v2 第二个顶点
* @param weight 权重
*/
public void addEdge(int v1,int v2,int weight){
edges[v1][v2]=weight;
edges[v2][v1]=weight;
numOFEdges++;
}
}